Сравните:1/2√12 и 1/3√45

Чтобы сравнить выражения (\frac{1}{2}\sqrt{12}) и (\frac{1}{3}\sqrt{45}), нужно упростить каждое из них и сравнить их численные значения.

Во-первых, упростим корни:

1. (\sqrt{12}): [ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} ]

2. (\sqrt{45}): [ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} ]

Теперь подставим упрощённые значения обратно в выражения:

[ \frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} ]

[ \frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3}(3\sqrt{5}) = \sqrt{5} ]

Следовательно, нам нужно сравнить (\sqrt{3}) и (\sqrt{5}).

Известно, что значения квадратных корней возрастают с увеличением подкоренного выражения. Поскольку (3 < 5), то (\sqrt{3} < \sqrt{5}).

Таким образом, (\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}).

Для сравнения дробей 1/2√12 и 1/3√45, сначала упростим выражения под знаками радикалов:

1/2√12 = 1/2 √(43) = 1/2 * 2√3 = √3

1/3√45 = 1/3 √(95) = 1/3 * 3√5 = √5

Теперь сравним полученные результаты. Мы видим, что √3 < √5, так как √3 ≈ 1.732 и √5 ≈ 2.236. Следовательно, 1/2√12 < 1/3√45.

Таким образом, дробь 1/2√12 меньше, чем дробь 1/3√45.

Для сравнения двух чисел с радикальными выражениями нужно привести их к общему знаменателю.