СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ корень из 2*sin7pi/8*cos7pi/8

Для решения этой задачи начнем с упрощения выражения под корнем: ( \sqrt{2 \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)} ).

Используем формулу произведения синуса и косинуса: [ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) ] Таким образом: [ 2 \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{14\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) ]

Поскольку ( \frac{7\pi}{4} ) - это угол, который можно упростить, ведь он больше ( 2\pi ) (полный круг равен ( 2\pi )), можно вычислить: [ \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} ] Так как синус - периодическая функция с периодом ( 2\pi ), то: [ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) ]

Известно, что: [ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ] Следовательно: [ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение: [ \sqrt{2 \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)} = \sqrt{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)} = \sqrt{-\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Здесь нужно быть осторожным, так как корень из отрицательного числа не определен в области вещественных чисел. Однако, если мы рассматриваем комплексные числа: [ \sqrt{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1)} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot i = i ]

Итак, ответ в комплексных числах: ( i ).

Для решения данного выражения нам необходимо воспользоваться формулой половинного угла для тригонометрических функций:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Таким образом, мы можем представить данное выражение в виде:

√2sin(7π/8)cos(7π/8) = √2 sin(2 7π/16) = √2 * sin(7π/8)

Теперь нам необходимо найти значение sin(7π/8). Для этого воспользуемся тригонометрическими свойствами. Учитывая, что sin(π - α) = sin(α), мы можем переписать sin(7π/8) следующим образом:

sin(7π/8) = sin(π - π/8) = sin(π/8)

Также известно, что sin(π/8) = √(2 - √2) / 2

Подставляя это значение обратно в исходное выражение, мы получаем:

√2 sin(7π/8) = √2 √(2 - √2) / 2 = √(4 - 2√2)

Итак, корень из 2sin(7π/8)cos(7π/8) равен √(4 - 2√2).