Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 2 больше суммы 2 её первых членов. первый член...

Для решения задачи и нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии воспользуемся следующими обозначениями и формулами.

1. Обозначим первый член прогрессии:
   [ a = 4 ]

2. Обозначим знаменатель прогрессии:
   Пусть ( q ) — знаменатель прогрессии, где ( |q| < 1 ) (условие сходимости).

3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
   Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
   [ S = \frac{a}{1 - q} ]

4. Сумма двух первых членов прогрессии:
   Первые два члена прогрессии равны ( a ) и ( aq ). Следовательно, сумма двух первых членов:
   [ S_2 = a + aq = a(1 + q) = 4(1 + q) = 4 + 4q ]

5. Условие задачи:
   Согласно условию задачи, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 2 больше суммы двух её первых членов:
   [ S = S_2 + 2 ]

   Подставляем выражения для ( S ) и ( S_2 ):
   [ \frac{a}{1 - q} = 4 + 4q + 2 ]

   Подставляем значение ( a = 4 ):
   [ \frac{4}{1 - q} = 4 + 4q + 2 ]

   Упростим правую часть:
   [ \frac{4}{1 - q} = 6 + 4q ]

6. Решим уравнение:
   Умножим обе стороны на ( 1 - q ):
   [ 4 = (6 + 4q)(1 - q) ]

   Раскроем скобки:
   [ 4 = 6 - 6q + 4q - 4q^2 ]
   [ 4 = 6 - 2q - 4q^2 ]

   Переносим все в одну сторону:
   [ 4q^2 - 2q + 2 = 0 ]
   Упрощаем:
   [ 2q^2 - q + 1 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   [ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 ]

   Дискриминант отрицательный, что означает, что действительных корней нет. Это может свидетельствовать о том, что в условии задачи есть ошибочная информация или же о том, что следует пересмотреть предположения.

7. Проверка условий:
   Важно заметить, что для убывающей прогрессии ( q ) должен быть в диапазоне ( (-1, 1) ). Учитывая, что мы получили отрицательный дискриминант, это может означать, что поставленная задача не имеет решения с такими условиями.

Таким образом, если бы мы нашли ( q ), то, подставив его обратно в формулу для суммы, мы могли бы получить сумму прогрессии. Однако в данной задаче, как видно, решений не существует.

Давайте подробно разберём задачу и найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1. Общая формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( S ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{a_1}{1 - q}, ] где:

• ( a_1 ) — первый член прогрессии,
• ( q ) — знаменатель прогрессии (условие: ( |q| < 1 ), чтобы прогрессия была убывающей).

2. Формула суммы первых двух членов

Сумма первых двух членов прогрессии ( S_2 ) выражается как: [ S_2 = a_1 + a_2 = a_1 + a_1 q. ]

3. Условие задачи

Согласно условию, сумма бесконечно убывающей прогрессии ( S ) на 2 больше суммы первых двух членов ( S_2 ): [ S = S_2 + 2. ]

4. Подставляем выражения

Подставим формулы для ( S ) и ( S_2 ) в уравнение: [ \frac{a_1}{1 - q} = a_1 + a_1 q + 2. ]

5. Известные значения

По условию задачи, ( a_1 = 4 ). Подставим это значение в уравнение: [ \frac{4}{1 - q} = 4 + 4q + 2. ]

Упростим правую часть: [ \frac{4}{1 - q} = 6 + 4q. ]

6. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на ( 1 - q ), чтобы избавиться от знаменателя (учитываем, что ( q \neq 1 )): [ 4 = (6 + 4q)(1 - q). ]

Раскроем скобки: [ 4 = (6 + 4q) - (6 + 4q)q. ] [ 4 = 6 + 4q - 6q - 4q^2. ]

Приведём подобные члены: [ 4 = 6 - 2q - 4q^2. ]

Перенесём всё в одну часть уравнения: [ 4q^2 + 2q + (4 - 6) = 0, ] [ 4q^2 + 2q - 2 = 0. ]

7. Решение квадратного уравнения

Упростим уравнение, разделив на 2: [ 2q^2 + q - 1 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac, ] где ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = -1 ).

Подставим значения: [ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. ]

Найдём корни по формуле: [ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] [ q = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}. ] [ q = \frac{-1 \pm 3}{4}. ]

Получаем два корня: [ q_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5, ] [ q_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1. ]

8. Выбор подходящего значения ( q )

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то по условию ( |q| < 1 ). Таким образом, ( q = 0.5 ) (значение ( q = -1 ) не подходит, так как оно не удовлетворяет условию убывания).

9. Найдём сумму прогрессии

Теперь, зная ( a_1 = 4 ) и ( q = 0.5 ), найдём сумму бесконечно убывающей прогрессии ( S ) по формуле: [ S = \frac{a_1}{1 - q}. ] [ S = \frac{4}{1 - 0.5}. ] [ S = \frac{4}{0.5} = 8. ]

Ответ:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна ( \mathbf{8} ).