Сумма двух чисел равна 6,а их произведение равно 7. Найдите сумму кубов этих чисел.

Обозначим два числа как ( x ) и ( y ). Из условия задачи у нас есть две основные информации:

1. Сумма чисел: [ x + y = 6 ]
2. Произведение чисел: [ x \cdot y = 7 ]

Нам нужно найти сумму кубов этих чисел, то есть ( x^3 + y^3 ).

Существует формула, которая позволяет выразить сумму кубов через сумму и произведение чисел: [ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]

У нас уже есть значение ( x + y ), но нам нужно найти ( x^2 - xy + y^2 ). Для этого мы можем использовать следующее преобразование:

[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy ]

Теперь подставим известные значения: [ x^2 + y^2 = (6)^2 - 2 \cdot 7 = 36 - 14 = 22 ]

Теперь можем найти ( x^2 - xy + y^2 ): [ x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - xy = 22 - 7 = 15 ]

Теперь подставим все найденные значения в формулу для суммы кубов: [ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 6 \cdot 15 = 90 ]

Таким образом, сумма кубов этих чисел равна ( 90 ).

Обозначим два числа как ( x ) и ( y ). У нас есть система уравнений:

1. ( x + y = 6 )
2. ( xy = 7 )

Чтобы найти сумму кубов ( x^3 + y^3 ), используем формулу:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]

Сначала найдем ( x^2 + y^2 ) через ( (x + y)^2 ):

[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 6^2 - 2 \cdot 7 = 36 - 14 = 22 ]

Теперь подставим ( x^2 + y^2 ) в формулу:

[ x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 22 - 7 = 15 ]

Теперь подставим все в формулу для суммы кубов:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 6 \cdot 15 = 90 ]

Таким образом, сумма кубов этих чисел равна ( 90 ).

Для решения задачи используем обозначения и свойства алгебры. Пусть два числа — это ( x ) и ( y ). Согласно условию, их сумма равна 6, а произведение равно 7. Записываем это в виде системы уравнений:

[ x + y = 6 \tag{1} ] [ x \cdot y = 7 \tag{2} ]

Нужно найти сумму кубов этих чисел: ( x^3 + y^3 ). Для этого воспользуемся алгебраической формулой суммы кубов:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2). ]

Шаг 1. Используем (1) для подстановки ( x + y ).

Из уравнения (1) известно, что ( x + y = 6 ). Подставляем это в формулу:

[ x^3 + y^3 = 6(x^2 - xy + y^2). \tag{3} ]

Шаг 2. Выражаем ( x^2 + y^2 ) через (1) и (2).

Известна следующая формула для суммы квадратов двух чисел:

[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy. ]

Подставляем значения ( x + y = 6 ) и ( xy = 7 ):

[ x^2 + y^2 = 6^2 - 2 \cdot 7 = 36 - 14 = 22. ]

Шаг 3. Подставляем ( x^2 + y^2 ) в формулу (3).

Теперь нам нужно выразить ( x^2 - xy + y^2 ). Заметим, что:

[ x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy. ]

Подставляем значения ( x^2 + y^2 = 22 ) и ( xy = 7 ):

[ x^2 - xy + y^2 = 22 - 7 = 15. ]

Шаг 4. Найдем ( x^3 + y^3 ).

Подставляем всё в формулу (3):

[ x^3 + y^3 = 6 \cdot 15 = 90. ]

Ответ:

Сумма кубов чисел равна:

[ \boxed{90}. ]