Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость...

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулы для нахождения времени, скорости и расстояния. Давайте обозначим скорость теплохода в стоячей воде как ( v ) км/ч. Скорость течения реки нам известна и равна 3 км/ч.

Для движения по течению:

• Эффективная скорость теплохода будет ( v + 3 ) км/ч.
• Расстояние, пройденное по течению, равно 54 км.
• Время, затраченное на движение по течению, будет равно (\frac{54}{v + 3}) часов.

Для движения против течения:

• Эффективная скорость теплохода будет ( v - 3 ) км/ч.
• Расстояние, пройденное против течения, равно 42 км.
• Время, затраченное на движение против течения, будет равно (\frac{42}{v - 3}) часов.

Общее время на весь путь составляет 4 часа. Таким образом, уравнение для общего времени будет:

[ \frac{54}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 4 ]

Решим это уравнение. Для этого найдем общий знаменатель и приведем дроби к общему знаменателю:

[ \frac{54(v - 3) + 42(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 4 ]

Раскроем скобки в числителе:

[ 54v - 162 + 42v + 126 = 4(v^2 - 9) ]

Сложим подобные члены:

[ 96v - 36 = 4v^2 - 36 ]

Перенесем все в одну сторону:

[ 4v^2 - 96v = 0 ]

Разделим обе стороны на 4:

[ v^2 - 24v = 0 ]

Вынесем ( v ) за скобки:

[ v(v - 24) = 0 ]

Отсюда получаем два решения: ( v = 0 ) или ( v = 24 ).

Так как ( v = 0 ) не имеет смысла в контексте задачи (так как это означало бы, что теплоход не двигается), остается только ( v = 24 ).

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.

Пусть скорость теплохода в стоячей воде равна V км/ч.

Тогда время, затраченное на движение по течению реки, равно 54 / (V + 3) часов, а время, затраченное на движение против течения, равно 42 / (V - 3) часов.

Так как общее время равно 4 часам, то сумма времен движения по течению и против течения равна 4 часам:

54 / (V + 3) + 42 / (V - 3) = 4.

Умножим обе части уравнения на (V + 3)(V - 3) для избавления от знаменателей:

54(V - 3) + 42(V + 3) = 4(V + 3)(V - 3).

Раскроем скобки:

54V - 162 + 42V + 126 = 4(V^2 - 9).

Сложим подобные члены:

96V - 36 = 4V^2 - 36.

Приведем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные:

4V^2 - 96V = 0.

Разделим обе части на 4V:

V - 24 = 0.

V = 24.

Итак, скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.

Скорость теплохода в стоячей воде равна 15 км/ч.