Tg^2 a+sin^2 a-1/cos^2 a Упростить выражение

Для упрощения данного выражения преобразуем тригонометрические функции:

tg^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a)

sin^2(a) + sin^2(a) / cos^2(a) - 1 / cos^2(a)

Умножим первое слагаемое на cos^2(a) / cos^2(a), чтобы привести дробь к общему знаменателю:

cos^2(a) * sin^2(a) / cos^2(a) + sin^2(a) / cos^2(a) - 1 / cos^2(a)

Получаем:

sin^2(a) + sin^2(a) - 1 / cos^2(a)

2sin^2(a) - 1 / cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2sin^2(a) - 1 / cos^2(a).

Упростим выражение ( \tan^2 a + \sin^2 a - \frac{1}{\cos^2 a} ).

Для этого используем тригонометрические тождества:

1. Тождество для тангенса: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Следовательно, [ \tan^2 a = \left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2 = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

2. Тождество для косинуса: [ \frac{1}{\cos^2 a} = \sec^2 a ]

Теперь подставим эти тождества в исходное выражение: [ \tan^2 a + \sin^2 a - \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \sin^2 a - \frac{1}{\cos^2 a} ]

Для удобства, рассмотрим общий знаменатель (\cos^2 a) для всех слагаемых: [ \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \sin^2 a - \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\sin^2 a \cos^2 a}{\cos^2 a} - \frac{1}{\cos^2 a} ]

Объединяем все под общий знаменатель (\cos^2 a): [ = \frac{\sin^2 a + \sin^2 a \cos^2 a - 1}{\cos^2 a} ]

Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), чтобы упростить числитель. Разделим (\sin^2 a) на два слагаемых: [ = \frac{\sin^2 a (1 + \cos^2 a) - 1}{\cos^2 a} ]

Заменим (1 + \cos^2 a) с использованием основного тригонометрического тождества: [ 1 + \cos^2 a = 1 + (1 - \sin^2 a) = 2 - \sin^2 a ]

Теперь подставим это в числитель: [ = \frac{\sin^2 a (2 - \sin^2 a) - 1}{\cos^2 a} ]

Раскроем скобки в числителе: [ = \frac{2\sin^2 a - \sin^4 a - 1}{\cos^2 a} ]

Итак, конечное упрощённое выражение выглядит следующим образом: [ \frac{2\sin^2 a - \sin^4 a - 1}{\cos^2 a} ]

Это выражение уже не поддается дальнейшему упрощению с использованием стандартных тригонометрических тождеств.