Tga/(1-tg²a)+ctga/(1-ctg²a) sin²(2π+a)+cos²(6π-a)+1

Для решения данного выражения, сначала преобразим выражение в числителе:

Tg(a) / (1 - Tg²(a)) = Sin(a) / Cos(a) (1 / (1 - Sin²(a) / Cos²(a))) = Sin(a) / Cos(a) (Cos²(a) / (Cos²(a) - Sin²(a))) = Sin(a) / Cos(a) (Cos²(a) / Cos(2a)) = Sin(a) Cos(a) / Cos(2a).

Ctg(a) / (1 - Ctg²(a)) = Cos(a) / Sin(a) (1 / (1 - Cos²(a) / Sin²(a))) = Cos(a) / Sin(a) (Sin²(a) / (Sin²(a) - Cos²(a))) = Cos(a) / Sin(a) (Sin²(a) / -Sin(2a)) = -Cos(a) Sin(a) / Sin(2a).

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Sin(a) Cos(a) / Cos(2a) + (-Cos(a) Sin(a)) / Sin(2a) = Sin(a) Cos(a) / (Cos(2a)) - Cos(a) Sin(a) / Sin(2a).

Далее, по тригонометрическим формулам:

Sin(2a) = 2 Sin(a) Cos(a), Cos(2a) = Cos²(a) - Sin²(a).

Таким образом, исходное выражение можно упростить до:

2 Sin(a) Cos(a) / (Cos²(a) - Sin²(a)) - Cos(a) Sin(a) / (2 Sin(a) Cos(a)) = 2 Sin(a) Cos(a) / Cos(2a) - Cos(a) Sin(a) / Sin(2a).

Таким образом, расширенный ответ на вопрос:

Tg(a) / (1 - Tg²(a)) + Ctg(a) / (1 - Ctg²(a)) = 2 Sin(a) Cos(a) / Cos(2a) - Cos(a) * Sin(a) / Sin(2a) = Sin²(2π+a) + Cos²(6π-a) + 1.

Рассмотрим два выражения отдельно, а затем объединим и упростим их.

Выражение 1: (\frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} + \frac{\cot a}{1 - \cot^2 a})

1. Выражение (\frac{\tan a}{1 - \tan^2 a}): Рассмотрим тригонометрическую идентичность: [ \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} ] Используем известную тригонометрическую формулу: [ 1 - \tan^2 a = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos 2a}{\cos^2 a} ] Тогда: [ \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos 2a}{\cos^2 a}} = \frac{\sin a \cos a}{\cos 2a} ]

2. Выражение (\frac{\cot a}{1 - \cot^2 a}): Аналогично: [ \frac{\cot a}{1 - \cot^2 a} ] Используем аналогичную тригонометрическую формулу: [ 1 - \cot^2 a = \frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{-\cos 2a}{\sin^2 a} ] Тогда: [ \frac{\cot a}{1 - \cot^2 a} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{-\cos 2a}{\sin^2 a}} = -\frac{\cos a \sin a}{\cos 2a} ]

Если сложить эти два выражения, то они взаимно уничтожаются: [ \frac{\sin a \cos a}{\cos 2a} - \frac{\sin a \cos a}{\cos 2a} = 0 ]

Выражение 2: (\sin^2(2\pi + a) + \cos^2(6\pi - a) + 1)

1. Рассмотрим (\sin^2(2\pi + a)): Из периодичности синуса: [ \sin(2\pi + a) = \sin a ] Тогда: [ \sin^2(2\pi + a) = \sin^2 a ]

2. Рассмотрим (\cos^2(6\pi - a)): Из периодичности косинуса: [ \cos(6\pi - a) = \cos a ] Тогда: [ \cos^2(6\pi - a) = \cos^2 a ]

Сложим все части: [ \sin^2(2\pi + a) + \cos^2(6\pi - a) + 1 = \sin^2 a + \cos^2 a + 1 ]

Из известной тригонометрической идентичности: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Тогда: [ \sin^2 a + \cos^2 a + 1 = 1 + 1 = 2 ]

Итог:

Объединив все результаты, получаем: [ \frac{\tan a}{1 - \tan^2 a} + \frac{\cot a}{1 - \cot^2 a} + \sin^2(2\pi + a) + \cos^2(6\pi - a) + 1 = 0 + 2 = 2 ]

Итак, окончательный ответ: [ 2 ]