Tg(x) =-1 я знаю, что ответ х=-п/4+пн Но почему? Я совсем забыла все >< Объясните, пожалуйста

Для того чтобы найти все решения уравнения tg(x) = -1, мы должны знать, что тангенс это отношение противоположенного катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике. Так как tg(x) = -1, это означает, что противоположенный катет равен отрицательному значению прилежащего катета.

Угол x, для которого tg(x) = -1, это угол во втором квадранте (поскольку тангенс отрицательный). Во втором квадранте тангенс равен значению противоположенного катета к прилежащему катету, и для угла -π/4 (или -45 градусов) это соотношение верно.

Следовательно, все решения уравнения tg(x) = -1 будут иметь вид x = -π/4 + πn, где n - целое число, означающее количество полных оборотов вокруг окружности.

Конечно, давайте разберем, почему решение уравнения (\tan(x) = -1) имеет вид (x = -\frac{\pi}{4} + \pi n), где (n) — целое число.

Функция тангенса, (\tan(x)), определяется как отношение синуса к косинусу:

[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} ]

Значение (\tan(x) = -1) означает, что синус и косинус имеют одинаковые по модулю, но противоположные по знаку значения. Это происходит, когда:

[ \sin(x) = -\cos(x) ]

Итак, чтобы понять, при каких значениях (x) это возможно, рассмотрим основные углы, на которых (\tan(x)) принимает значение -1.

1. Основной угол: Вспомним основные значения тригонометрических функций. Тангенс равен -1 при угле (-\frac{\pi}{4}) (или (-45) градусов), потому что:

   [ \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 ]

2. Периодичность функции тангенса: Тангенс — это периодическая функция с периодом (\pi). Это значит, что если (\tan(x) = -1) при каком-то (x), то (\tan(x + \pi) = -1) будет тоже верно. Таким образом, чтобы учесть все возможные решения, мы добавляем период (\pi):

   [ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n ]

где (n) — любое целое число. Это выражает периодичность тангенса и учитывает все углы, при которых (\tan(x) = -1).

Таким образом, общее решение уравнения (\tan(x) = -1) — это (x = -\frac{\pi}{4} + \pi n), где (n) может быть любым целым числом.

Тангенс угла равен -1 в четвертой четверти (x = -π/4 + πn), потому что в этой четверти угол лежит в четверти, где тангенс отрицателен, а при этом имеет модуль, равный 1.