Трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного...

Пусть исходное трёхзначное число равно (100a + 10b + c), где a, b, c - цифры числа. После того, как мы зачеркнули среднюю цифру, получаем число (10a + c). Условие задачи гласит, что это число в 6 раз меньше первоначального, то есть:

(10a + c = 6(100a + 10b + c)), (10a + c = 600a + 60b + 6c), (594a = 59b + 5c).

Так как a, b, c - цифры, то a может быть только равно 1, так как в противном случае слева будет число больше 999. Подставим a = 1:

(594 = 59b + 5c).

Так как 594 делится на 59, то b = 9, c = 5. Следовательно, первоначальное трёхзначное число равно 195. Сумма цифр этого числа равна (1 + 9 + 5 = 15).

Рассмотрим задачу более подробно. Пусть трёхзначное число обозначается как ( \overline{abc} ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — его цифры. Тогда это число можно представить как ( 100a + 10b + c ).

После зачеркивания средней цифры ( b ), остаётся двузначное число ( \overline{ac} ), которое равно ( 10a + c ).

По условию задачи, двузначное число в 6 раз меньше исходного трёхзначного числа. Это можно выразить уравнением:

[ 100a + 10b + c = 6(10a + c) ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ 100a + 10b + c = 60a + 6c ]

Переносим все слагаемые, содержащие ( a ) и ( c ), в одну сторону:

[ 100a - 60a + 10b + c - 6c = 0 ]

Упрощаем уравнение:

[ 40a + 10b - 5c = 0 ]

Разделим все части уравнения на 5, чтобы упростить его:

[ 8a + 2b - c = 0 ]

Выразим ( c ) через ( a ) и ( b ):

[ c = 8a + 2b ]

Поскольку ( a ), ( b ), и ( c ) — цифры, они принимают значения от 0 до 9. Учитывая, что ( a ) — старшая цифра трёхзначного числа, ( a ) не может быть равна 0. Таким образом, ( a ) принимает значения от 1 до 9.

Найдём соответствующие значения ( b ) и ( c ) для допустимых значений ( a ):

1. Если ( a = 1 ): [ c = 8 \cdot 1 + 2b = 8 + 2b ] Чтобы ( c ) была цифрой (от 0 до 9), решаем: [ 8 + 2b \leq 9 \implies 2b \leq 1 ] Таким образом, ( b = 0 ), и тогда ( c = 8 ).

Трёхзначное число: ( \overline{108} ).

Проверим условие задачи:

• Исходное число: 108.
• После зачеркивания средней цифры: 18.
• Проверяем: ( 18 \times 6 = 108 ).

Теперь найдём сумму цифр трёхзначного числа ( \overline{108} ):

[ 1 + 0 + 8 = 9 ]

Таким образом, сумма цифр первоначального трёхзначного числа равна 9.