Туристы в 7 часов утра отправились на катере от пристани против течения реки, через некоторое время...

Для решения задачи определим все переменные и сделаем необходимые расчёты.

Обозначим:

• ( v_c ) — собственная скорость катера (8 км/ч);
• ( v_r ) — скорость течения реки (4 км/ч);
• ( t ) — время, затраченное катером на путь в одном направлении (в часах);
• ( d ) — расстояние от пристани, на которое отплыли туристы (в километрах).

Сначала найдем эффективные скорости катера относительно берега:

1. Против течения реки (от пристани): [ v_{\text{против}} = v_c - v_r = 8 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч} ]

2. По течению реки (обратно к пристани): [ v_{\text{по}} = v_c + v_r = 8 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч} ]

Теперь разберем временные рамки путешествия:

• Туристы отправились в 7 часов утра и вернулись в 19 часов вечера.
• Общее время путешествия: ( 19 - 7 = 12 ) часов.
• Из этих 12 часов 6 часов туристы отдыхали, значит, на путь туда и обратно у них ушло: ( 12 - 6 = 6 ) часов.

Пусть ( t_1 ) — время в пути против течения, а ( t_2 ) — время в пути по течению. Тогда: [ t_1 + t_2 = 6 \text{ часов} ]

Используем формулы для расстояния:

Против течения: [ d = v_{\text{против}} \cdot t_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot t_1 ]

По течению: [ d = v_{\text{по}} \cdot t_2 = 12 \text{ км/ч} \cdot t_2 ]

Так как расстояние в обоих направлениях одинаковое, приравниваем выражения: [ 4 \cdot t_1 = 12 \cdot t_2 ]

Отсюда: [ t_1 = 3 \cdot t_2 ]

Подставим ( t_1 = 3t_2 ) в уравнение ( t_1 + t_2 = 6 ): [ 3t_2 + t_2 = 6 ] [ 4t_2 = 6 ] [ t_2 = 1.5 \text{ часа} ]

Теперь найдем ( t_1 ): [ t_1 = 3 \cdot 1.5 = 4.5 \text{ часа} ]

Наконец, найдем расстояние ( d ): [ d = v_{\text{против}} \cdot t_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot 4.5 \text{ часа} = 18 \text{ км} ]

Таким образом, туристы отплыли на расстояние 18 километров от пристани.

Пусть расстояние от пристани до места остановки равно Х км. Тогда время, за которое туристы доплыли до места остановки, равно X / (8 + 4) = X / 12 часов. Во время отдыха они проплыли расстояние, равное скорость течения реки умноженной на время отдыха, то есть 4 * 6 = 24 км. Затем они вернулись обратно за время X / (8 - 4) = X / 4 часа. Из условия задачи известно, что общее время пути равно 12 часов, поэтому: X / 12 + 24 / 8 + X / 4 = 12 X / 12 + 3 + X / 4 = 12 Упростим уравнение: X / 12 + X / 4 = 9 3X + 12X = 108 15X = 108 X = 7.2 Таким образом, туристы отплыли на расстояние 7.2 км от пристани.