Укажите промежутки знакопостоянства функции: y=x^2-4x

Для функции ( y = x^2 - 4x ) найдем промежутки знакопостоянства. Сначала найдем нули функции:

[ x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 4. ]

Теперь определим знаки функции на интервалах, которые определяются этими нулями: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 4) ), ( (4, +\infty) ).

1. Для интервала ( (-\infty, 0) ): выбираем ( x = -1 ): [ y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 > 0. ]

2. Для интервала ( (0, 4) ): выбираем ( x = 2 ): [ y = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 < 0. ]

3. Для интервала ( (4, +\infty) ): выбираем ( x = 5 ): [ y = 5^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5 > 0. ]

Таким образом, функция положительна на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (4, +\infty) ), и отрицательна на интервале ( (0, 4) ).

Промежутки знакопостоянства:

• ( (-\infty, 0) ): ( y > 0 )
• ( (0, 4) ): ( y < 0 )
• ( (4, +\infty) ): ( y > 0 )

Рассмотрим функцию ( y = x^2 - 4x ) и найдем ее промежутки знакопостоянства. Для этого необходимо:

1. Найти нули функции, то есть значения ( x ), при которых ( y = 0 ).
2. Разделить числовую ось на промежутки, исходя из найденных нулей.
3. Определить знак функции на каждом из промежутков.

1. Найдем нули функции

Функция ( y = x^2 - 4x ) является квадратичной. Чтобы найти нули функции, приравняем её к нулю:

[ x^2 - 4x = 0 ]

Вынесем общий множитель ( x ) за скобки:

[ x(x - 4) = 0 ]

Отсюда ( x_1 = 0 ) и ( x_2 = 4 ).

Таким образом, нули функции находятся в точках ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

2. Разделим числовую ось на промежутки

Нули функции ( x = 0 ) и ( x = 4 ) делят числовую ось на три промежутка:

1. ( (-\infty; 0) )
2. ( (0; 4) )
3. ( (4; +\infty) )

3. Определим знак функции на каждом из промежутков

Теперь определим знак функции ( y = x^2 - 4x ) на каждом из указанных промежутков. Для этого подставим в функцию тестовые значения ( x ), лежащие внутри каждого промежутка.

а) Промежуток ( (-\infty; 0) ):

Выберем ( x = -1 ) (любое значение из промежутка). Подставим его в функцию:

[ y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 ]

Значение функции положительное (( y > 0 )) на промежутке ( (-\infty; 0) ).

б) Промежуток ( (0; 4) ):

Выберем ( x = 2 ) (любое значение из промежутка). Подставим его в функцию:

[ y = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 ]

Значение функции отрицательное (( y < 0 )) на промежутке ( (0; 4) ).

в) Промежуток ( (4; +\infty) ):

Выберем ( x = 5 ) (любое значение из промежутка). Подставим его в функцию:

[ y = 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 ]

Значение функции положительное (( y > 0 )) на промежутке ( (4; +\infty) ).

4. Итог

Промежутки знакопостоянства функции:

• ( y > 0 ) на промежутках ( (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) );
• ( y < 0 ) на промежутке ( (0; 4) ).

В точках ( x = 0 ) и ( x = 4 ) функция равна нулю (( y = 0 )).

График функции ( y = x^2 - 4x ) имеет вид параболы, ветви которой направлены вверх. Нули функции (( x = 0 ) и ( x = 4 )) являются точками пересечения графика с осью ( x ).

Для определения промежков знакопостоянства функции ( y = x^2 - 4x ) необходимо сначала найти её нули, то есть решить уравнение ( y = 0 ).

1. Найдем корни уравнения: [ x^2 - 4x = 0 ] Мы можем вынести ( x ) за скобки: [ x(x - 4) = 0 ] Это уравнение равно нулю, когда: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 ] Таким образом, функция ( y = x^2 - 4x ) имеет два корня: ( x_1 = 0 ) и ( x_2 = 4 ).

2. Определим знаки функции на промежках: Теперь нужно проверить знаки функции на промежках, которые определяются найденными корнями. Эти промежки:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( (0, 4) )
   • ( (4, +\infty) )

   Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в функцию:

   • Для промежутка ( (-\infty, 0) ): Выберем ( x = -1 ): [ y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \quad (> 0) ] Следовательно, ( y > 0 ) на промежутке ( (-\infty, 0) ).

   • Для промежутка ( (0, 4) ): Выберем ( x = 2 ): [ y(2) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \quad (< 0) ] Следовательно, ( y < 0 ) на промежутке ( (0, 4) ).

   • Для промежутка ( (4, +\infty) ): Выберем ( x = 5 ): [ y(5) = (5)^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5 \quad (> 0) ] Следовательно, ( y > 0 ) на промежутке ( (4, +\infty) ).

3. Итог: Собрав все результаты, мы можем указать промежки знакопостоянства функции:

   • ( y > 0 ) на промежках ( (-\infty, 0) ) и ( (4, +\infty) );
   • ( y < 0 ) на промежутке ( (0, 4) ).

Таким образом, функция ( y = x^2 - 4x ) имеет следующие промежки знакопостоянства:

• Знак ( + ): ( (-\infty, 0) ) и ( (4, +\infty) )
• Знак ( - ): ( (0, 4) )