Упростить и найти значение ( sin^2 (a) - 1 ) / ( 1 - cos^2 (a) ) при а=π/4

Для упрощения выражения (( \sin^2 (a) - 1 ) / ( 1 - \cos^2 (a) )) начнем с применения тригонометрических тождеств.

1. Используем тождество: Известно, что (\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1). Это означает, что (\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)).

2. Упрощаем знаменатель: (1 - \cos^2(a)) можно заменить на (\sin^2(a)): [ 1 - \cos^2(a) = \sin^2(a) ]

3. Подставим в выражение: Теперь подставим это в исходное выражение: [ \frac{\sin^2(a) - 1}{1 - \cos^2(a)} = \frac{\sin^2(a) - 1}{\sin^2(a)} ]

4. Упрощаем дробь: Дробь можно упростить, выделив общий множитель: [ \frac{\sin^2(a) - 1}{\sin^2(a)} = \frac{-(1 - \sin^2(a))}{\sin^2(a)} = \frac{-(\cos^2(a))}{\sin^2(a)} = -\frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)} = -\cot^2(a) ]

Теперь мы упростили выражение до (-\cot^2(a)).

1. Находим значение при (a = \frac{\pi}{4}): (a = \frac{\pi}{4}) — это угол, для которого: (\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}).

   Таким образом: [ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 ]

   Следовательно: [ \cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1 ]

2. Значение выражения: Подставляем найденное значение в упрощенное выражение: [ -\cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 ]

Таким образом, значение выражения (( \sin^2 (a) - 1 ) / ( 1 - \cos^2 (a) )) при (a = \frac{\pi}{4}) равно (-1).

Давайте разберем задачу по шагам и проведем полное упрощение выражения.

Задано выражение:

[ \frac{\sin^2(a) - 1}{1 - \cos^2(a)}. ] Нужно упростить это выражение и найти его значение при ( a = \frac{\pi}{4} ).

Шаг 1. Используем тригонометрическое тождество:

Из основного тригонометрического тождества известно, что: [ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1. ] Отсюда: [ 1 - \cos^2(a) = \sin^2(a). ]

Подставим это в знаменатель: [ \frac{\sin^2(a) - 1}{1 - \cos^2(a)} = \frac{\sin^2(a) - 1}{\sin^2(a)}. ]

Шаг 2. Упростим числитель:

В числителе (\sin^2(a) - 1). Вынесем минус за скобки: [ \sin^2(a) - 1 = -(1 - \sin^2(a)). ]

Из тригонометрического тождества (1 - \sin^2(a) = \cos^2(a)), поэтому: [ \sin^2(a) - 1 = -\cos^2(a). ]

Подставим это в выражение: [ \frac{\sin^2(a) - 1}{\sin^2(a)} = \frac{-\cos^2(a)}{\sin^2(a)}. ]

Шаг 3. Запишем в виде дроби:

[ \frac{-\cos^2(a)}{\sin^2(a)} = -\frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)}. ]

Используем определение тригонометрической функции (\cot(a)) (котангенса): [ \cot^2(a) = \frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)}. ]

Таким образом, выражение примет вид: [ -\frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)} = -\cot^2(a). ]

Шаг 4. Подставим (a = \frac{\pi}{4}):

Для угла (a = \frac{\pi}{4}) значения синуса и косинуса равны: [ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Следовательно: [ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1. ]

Таким образом: [ \cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1. ]

Шаг 5. Найдем значение выражения:

[ -\cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1. ]

Ответ:

Упрощенное выражение равно (-\cot^2(a)). При (a = \frac{\pi}{4}) значение выражения: [ \boxed{-1}. ]