Упростить выражение 1)(1+√5)² 2)(√5-√3)(√5+√3) 3)(3√14 +√7): √7 - 2√2 4)(√3-7)² 5)(√7+√2)(√7 - √2) 6)(3√24...

Конечно, давайте упростим каждое выражение по порядку:

1. ((1 + \sqrt{5})^2)

Используем формулу квадратного двучлена ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2):

[ (1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5} ]

1. ((\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}))

Используем формулу разности квадратов ((a - b)(a + b) = a^2 - b^2):

[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 ]

1. (\frac{3\sqrt{14} + \sqrt{7}}{\sqrt{7}} - 2\sqrt{2})

Разделим каждое слагаемое числителя на (\sqrt{7}):

[ \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} - 2\sqrt{2} = 3 \sqrt{\frac{14}{7}} + 1 - 2\sqrt{2} ]

Упростим (\sqrt{\frac{14}{7}} = \sqrt{2}):

[ 3\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} ]

Соберём подобные слагаемые:

[ (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + 1 = \sqrt{2} + 1 ]

1. ((\sqrt{3} - 7)^2)

Используем формулу квадратного двучлена ((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2):

[ (\sqrt{3} - 7)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 3 - 14\sqrt{3} + 49 = 52 - 14\sqrt{3} ]

1. ((\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}))

Используем формулу разности квадратов ((a - b)(a + b) = a^2 - b^2):

[ (\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5 ]

1. (\frac{3\sqrt{24} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{2})

Разделим каждое слагаемое числителя на (\sqrt{3}):

[ \frac{3\sqrt{24}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{2} = 3 \sqrt{\frac{24}{3}} + 1 - 3\sqrt{2} ]

Упростим (\sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}):

[ 3 \cdot 2\sqrt{2} + 1 - 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 1 - 3\sqrt{2} ]

Соберём подобные слагаемые:

[ (6\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + 1 = 3\sqrt{2} + 1 ]

Таким образом, упрощенные выражения:

1. (6 + 2\sqrt{5})
2. (2)
3. (\sqrt{2} + 1)
4. (52 - 14\sqrt{3})
5. (5)
6. (3\sqrt{2} + 1)

1) (1+√5)² = 1 + 2√5 + 5 = 6 + 2√5

2) (√5-√3)(√5+√3) = (√5)² - (√3)² = 5 - 3 = 2

3) (3√14 +√7) / (√7 - 2√2) = (3√14 +√7) / (√7 - 2√2) * (√7 + 2√2) / (√7 + 2√2) = (3√98 + 6√14 + √14 + 2√7) / (7 - 4√14) = (3√98 + 6√14 + √14 + 2√7) / (7 - 4√14) = (6√98 + 7√14 + 2√7) / 7

4) (√3-7)² = (√3)² - 2√37 + 7² = 3 - 14√3 + 49 = 52 - 14√3

5) (√7+√2)(√7 - √2) = (√7)² - (√2)² = 7 - 2 = 5

6) (3√24 + √3) / (√3 -3√2) = (3√24 + √3) / (√3 -3√2) * (√3 + 3√2) / (√3 + 3√2) = (9√24 + 3√3 + 3√24 + √3) / (3 - 9√6) = (12√24 + 4√3) / (3 - 9√6) = 4(3√24 + √3) / 3(1 - 3√6) = 4√24 + √3 / 1 - 3√6

1) 1 + 2√5 + 5 2) 5 - 3 3) 5 4) 3 - 14√3 + 49 5) 7 - 2 6) 8 + 3√6