Упростить выражение: \[ \frac{cos 70}{cos 35 + sin 35} +sin35\]

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала заметим, что можно представить ( \cos 70 ) как ( \cos (35 + 35) ), что даст нам ( \cos 35 \cdot \cos 35 - \sin 35 \cdot \sin 35 ).

Теперь заменим ( \cos 70 ) в выражении:

[ \frac{\cos 70}{\cos 35 + \sin 35} + \sin 35 = \frac{\cos 35 \cdot \cos 35 - \sin 35 \cdot \sin 35}{\cos 35 + \sin 35} + \sin 35 ]

Далее можем преобразовать числитель дроби:

[ \cos 35 \cdot \cos 35 - \sin 35 \cdot \sin 35 = \cos^2 35 - \sin^2 35 = \cos 70 ]

Подставим это значение обратно в выражение:

[ \frac{\cos 70}{\cos 35 + \sin 35} + \sin 35 = \frac{\cos 70}{\cos 35 + \sin 35} + \sin 35 ]

Таким образом, упрощенное выражение равно исходному выражению.

Чтобы упростить выражение

[ \frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} + \sin 35^\circ, ]

мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими тождествами и свойствами углов.

Во-первых, заметим, что (\cos 70^\circ = \sin 20^\circ), так как (\cos \theta = \sin (90^\circ - \theta)).

Заменим (\cos 70^\circ) на (\sin 20^\circ) в исходном выражении:

[ \frac{\sin 20^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} + \sin 35^\circ. ]

Теперь упростим знаменатель (\cos 35^\circ + \sin 35^\circ). Используем формулу для преобразования суммы синуса и косинуса в одно произведение:

[ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha), ]

где (\tan \alpha = \frac{b}{a}). В нашем случае (a = 1) и (b = 1), и поэтому:

[ \cos 35^\circ + \sin 35^\circ = \sqrt{1^2 + 1^2} \sin(35^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 80^\circ. ]

Однако, (\sin 80^\circ = \cos 10^\circ), и поэтому:

[ \cos 35^\circ + \sin 35^\circ = \sqrt{2} \cos 10^\circ. ]

Теперь подставим это обратно в выражение:

[ \frac{\sin 20^\circ}{\sqrt{2} \cos 10^\circ} + \sin 35^\circ. ]

Упростим первую дробь:

[ \frac{\sin 20^\circ}{\cos 10^\circ} = \tan 20^\circ. ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{\tan 20^\circ}{\sqrt{2}} + \sin 35^\circ. ]

Поскольку дальнейшее упрощение стандартными средствами сложно и не приведет к более простому выражению, оставим его в данном виде, если не требуется прибегать к численным методам или дополнительным приближенным преобразованиям.