Упростить выражение (корень кубический a + корень кубический b)в квадрате - (корень кубический a - корень...

Чтобы упростить выражение ((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2), воспользуемся формулой разности квадратов, которая гласит:

[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ]

В нашем случае (x = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) и (y = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}). Теперь подставим эти выражения в формулу:

1. Найдем (x - y): [ x - y = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{b} ]

2. Найдем (x + y): [ x + y = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{a} ]

Теперь мы можем подставить найденные значения обратно в формулу разности квадратов:

[ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = (x - y)(x + y) = (2\sqrt[3]{b})(2\sqrt[3]{a}) = 4\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} ]

Таким образом, окончательный ответ можно записать так:

[ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = 4\sqrt[3]{ab} ]

Итак, упрощенное выражение равно (4\sqrt[3]{ab}).

Упростим выражение ((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2).

Используем формулу разности квадратов: (x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)), где (x = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) и (y = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}).

1. (x - y = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = 2\sqrt[3]{b})
2. (x + y = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = 2\sqrt[3]{a})

Теперь подставим обратно:

[ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = (x - y)(x + y) = (2\sqrt[3]{b})(2\sqrt[3]{a}) = 4\sqrt[3]{ab} ]

Ответ: (4\sqrt[3]{ab}).

Рассмотрим выражение:

[ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^2. ]

Для упрощения воспользуемся формулой разности квадратов:

[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). ]

В данном случае ( x = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} ), а ( y = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} ). Тогда:

[ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^2 = \left[\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\right] \cdot \left[\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) + \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\right]. ]

Упростим каждую скобку в произведении.

1. Первая скобка: [ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{b}. ]

2. Вторая скобка: [ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) + \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{a}. ]

Теперь подставим упрощённые выражения в произведение:

[ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^2 = \left(2\sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(2\sqrt[3]{a}\right). ]

Перемножим:

[ \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^2 = 4\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}. ]

Таким образом, упрощённое выражение:

[ 4\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}. ]