Упростите: 1)sin 2β/sin²β= 2)sin 2α/2sin α - cos α= 3)0,5 tg α sin 2α+cos² α= дробью писать 1 и 2!

1) cot β 2) 2 3) 1

Давайте упростим каждое из выражений по очереди:

1) (\frac{\sin 2\beta}{\sin^2 \beta})

Сначала вспомним формулу двойного угла для синуса:

[ \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta ]

Теперь подставим эту формулу в наше выражение:

[ \frac{\sin 2\beta}{\sin^2 \beta} = \frac{2 \sin \beta \cos \beta}{\sin^2 \beta} ]

Разделим числитель и знаменатель на (\sin \beta):

[ \frac{2 \sin \beta \cos \beta}{\sin^2 \beta} = 2 \cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\sin^2 \beta} = 2 \cos \beta \cdot \frac{1}{\sin \beta} = 2 \cot \beta ]

Итак, упрощенное выражение:

[ \frac{\sin 2\beta}{\sin^2 \beta} = 2 \cot \beta ]

2) (\frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} - \cos \alpha)

Снова воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ]

Подставим эту формулу в наше выражение:

[ \frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} - \cos \alpha = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha} - \cos \alpha ]

Упростим дробь:

[ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha} = \cos \alpha ]

Таким образом, у нас получилось:

[ \cos \alpha - \cos \alpha = 0 ]

Итак, упрощенное выражение:

[ \frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} - \cos \alpha = 0 ]

3) (0.5 \tan \alpha \sin 2\alpha + \cos^2 \alpha)

Для начала вспомним формулу для тангенса и синуса двойного угла:

[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ] [ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ]

Подставим эти формулы в наше выражение:

[ 0.5 \tan \alpha \sin 2\alpha + \cos^2 \alpha = 0.5 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha ]

Упростим выражение:

[ 0.5 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0.5 \cdot 2 \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha ]

Теперь у нас получилось:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha ]

Вспомним основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Итак, упрощенное выражение:

[ 0.5 \tan \alpha \sin 2\alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Таким образом, после упрощения мы получили следующие результаты:

1) (\frac{\sin 2\beta}{\sin^2 \beta} = 2 \cot \beta) 2) (\frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} - \cos \alpha = 0) 3) (0.5 \tan \alpha \sin 2\alpha + \cos^2 \alpha = 1)

1) Упростим выражение sin 2β/sin²β: sin 2β = 2sin βcos β Подставим это выражение в исходное: (2sin βcos β)/(sin²β) = 2cos β/sin β = 2cot β

2) Упростим выражение sin 2α/(2sin α - cos α): sin 2α = 2sin αcos α Подставим это выражение в исходное: (2sin αcos α)/(2sin α - cos α) = 2cos α/(2 - cos α/sin α) = 2cos α/(2 - cot α)

3) Упростим выражение 0,5tg αsin 2α+cos² α: 0,5tg αsin 2α + cos² α = 0,5tg α*2sin αcos α + cos² α = sin αcos α + cos² α = cos α(sin α + cos α)