Упростите: 2cos^2a/sin2a

Для упрощения выражения ( \frac{2\cos^2 a}{\sin 2a} ) воспользуемся известными тригонометрическими формулами.

Во-первых, вспомним, что ( \sin 2a ) можно выразить через синус и косинус с помощью формулы двойного угла:

[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]

Теперь подставим это выражение в нашу формулу:

[ \frac{2\cos^2 a}{\sin 2a} = \frac{2\cos^2 a}{2 \sin a \cos a} ]

Обратите внимание, что ( 2 ) в числителе и знаменателе можно сократить:

[ = \frac{\cos^2 a}{\sin a \cos a} ]

Теперь мы можем сократить ( \cos a ) в числителе и знаменателе (при условии, что ( \cos a \neq 0 )):

[ = \frac{\cos a}{\sin a} ]

Это выражение равно ( \cot a ) (котангенс угла ( a )):

[ = \cot a ]

Таким образом, окончательный ответ на заданное выражение:

[ \frac{2\cos^2 a}{\sin 2a} = \cot a ] (при условии, что ( \cos a \neq 0 )).

Для упрощения выражения ( \frac{2\cos^2a}{\sin2a} ), разберем его шаг за шагом.

Шаг 1. Разберем знаменатель.

Знаменатель — это ( \sin2a ). Используем тригонометрическую формулу двойного угла для синуса: [ \sin2a = 2\sin a \cos a. ] Подставим это в выражение. Теперь оно выглядит так: [ \frac{2\cos^2a}{2\sin a \cos a}. ]

Шаг 2. Сократим общий множитель.

В числителе и знаменателе есть общий множитель 2, который можно сократить: [ \frac{\cos^2a}{\sin a \cos a}. ]

Далее упростим дробь. В числителе стоит ( \cos^2a ), а в знаменателе ( \sin a \cos a ). Сократим одну степень ( \cos a ) (при условии, что ( \cos a \neq 0 )): [ \frac{\cos a}{\sin a}. ]

Шаг 3. Преобразуем выражение.

[ \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a. ]

Итог.

Упрощенное выражение: [ \frac{2\cos^2a}{\sin2a} = \cot a. ]

Разъяснение результата.

Функция ( \cot a ) — это котангенс угла ( a ), который равен отношению косинуса к синусу: [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a}. ]

Корректное упрощение возможно только при соблюдении условий ( \sin a \neq 0 ), ( \cos a \neq 0 ) и ( \sin 2a \neq 0 ), чтобы избежать деления на ноль.

Упростим выражение ( \frac{2\cos^2 a}{\sin 2a} ).

Используем формулу ( \sin 2a = 2 \sin a \cos a ). Подставим её в выражение:

[ \frac{2\cos^2 a}{\sin 2a} = \frac{2\cos^2 a}{2 \sin a \cos a} ]

Сократим на 2:

[ = \frac{\cos^2 a}{\sin a \cos a} ]

Сократим ( \cos a ):

[ = \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a ]

Таким образом, упрощенное выражение: ( \cot a ).