Упростите: 8* 100 в степени n / 2 в степени 2n+1 * 5 в степени 2n-2

Чтобы упростить выражение (\frac{8 \cdot 100^n}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}}), давайте разберём его шаг за шагом.

1. Представьте числа в основе степеней:

   • (8) можно представить как (2^3).
   • (100) можно представить как (10^2), а (10) в свою очередь как (2 \cdot 5). Поэтому (100 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2).

2. Запишите (100^n) через (2) и (5): [ 100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n} ]

Теперь у нас есть: [ \frac{2^3 \cdot 2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} ]

1. Объедините степени с одинаковыми основаниями:

   • Для чисел с основанием (2): [ 2^3 \cdot 2^{2n} = 2^{3 + 2n} ]

   Теперь выражение выглядит так: [ \frac{2^{3 + 2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} ]

2. Упростите степени с основанием (2): [ \frac{2^{3 + 2n}}{2^{2n+1}} = 2^{(3 + 2n) - (2n + 1)} = 2^{3 + 2n - 2n - 1} = 2^{3 - 1} = 2^2 ]

3. Упростите степени с основанием (5): [ \frac{5^{2n}}{5^{2n-2}} = 5^{2n - (2n-2)} = 5^{2n - 2n + 2} = 5^2 ]

Теперь у нас остались: [ 2^2 \cdot 5^2 ]

1. Вычислите оставшиеся степени: [ 2^2 = 4 \quad \text{и} \quad 5^2 = 25 ]

2. Перемножьте результаты: [ 4 \cdot 25 = 100 ]

Таким образом, упрощённое выражение равно (100).

Для упрощения данного выражения сначала раскроем скобки по свойству степеней: 8 100^n / 2^(2n+1) 5^(2n-2)

Далее преобразуем числители и знаменатель: 8 100^n = 8 (10^2)^n = 8 10^2n = 800 10^n 2^(2n+1) = 2^(2n) 2 = (2^n)^2 2 = 4^n 2 = 2 4^n = 8^n 5^(2n-2) = 5^2 5^(2n-2-2) = 25 5^(2n-4)

Подставим все это обратно в исходное выражение: (800 10^n) / (8^n 2 25 5^(2n-4))

Упростим дальше: 800 / 2 25 = 400 10^n / 8^n = (10/8)^n = (5/4)^n 5^(2n-4) = 5^2 5^(2n-4-2) = 25 * 5^(2n-6)

Итоговый ответ: 400 (5/4)^n / (25 5^(2n-6))

8100^n / 2^(2n + 1) 5^(2n - 2) = 4^n * 5^n / 2^(2n + 1) = 20^n / 2^(2n + 1) = 20^n / 4^(n + 1) = 5^n / 4^(n) = (5/4)^n.