Упростите алгебраические дроби: А) m-n+4mn:$m-n$ Б)2:$x-y$+$x-y$:xy В)$p-1$:$p-2$ - $p+1$:$p-2$

А) Для упрощения данного выражения сначала приведем дробь к общему знаменателю $m-n$:

m-n+4mn:$m-n$ = $m-n$^2/$m-n$ + 4mn/$m-n$ = $m^2-2mn+n^2+4mn$/$m-n$ = $m^2+2mn+n^2$/$m-n$

Б) Приведем дроби к общему знаменателю $xy$:

2:$x-y$ + $x-y$:xy = 2y/$xy$ + $x-y^2$/$xy$ = $2y+x-y^2$/$xy$

В) Приведем дроби к общему знаменателю $p-2$:

$p-1$/$p-2$ - $p+1$/$p-2$ = $p-1-(p+1$)/$p-2$ = $p-1-p-1$/$p-2$ = $-2$/$p-2$

Конечно, давайте разберем каждый из предложенных примеров по порядку и упростим алгебраические дроби.

Пример А

$m-n+\frac{4mn}{m-n}$

Для начала стоит заметить, что мы имеем дело с алгебраической дробью и алгебраическим выражением. Чтобы упростить данное выражение, нужно привести его к общему знаменателю:

1. Общий знаменатель для дроби и выражения $m-n$ будет $m-n$.
2. Приведем выражение к общему знаменателю:

$m-n+\frac{4mn}{m-n}=\frac{(m-n)(m-n)}{m-n}+\frac{4mn}{m-n}$

1. Упростим числитель:

$\frac{(m-n{)}^2+4mn}{m-n}$

1. Раскроем квадратный член:

$\frac{m^2-2mn+n^2+4mn}{m-n}$

1. Сложим подобные члены:

$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$

1. Числитель можно разложить по формуле квадрата суммы:

$\frac{(m+n{)}^2}{m-n}$

Таким образом, окончательный ответ:

$\frac{(m+n{)}^2}{m-n}$

Пример Б

$\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}$

Для упрощения этого выражения, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен $xy(x-y$ ):

1. Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{2}{x-y}=\frac{2xy}{xy(x-y)}$

1. Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{x-y}{xy}=\frac{(x-y)(x-y)}{xy(x-y)}=\frac{(x-y{)}^2}{xy(x-y)}$

1. Сложим дроби:

$\frac{2xy+(x-y{)}^2}{xy(x-y)}$

1. Раскроем квадратный член:

$\frac{2xy+x^2-2xy+y^2}{xy(x-y)}$

1. Сложим подобные члены:

$\frac{x^2+y^2}{xy(x-y)}$

Таким образом, окончательный ответ:

$\frac{x^2+y^2}{xy(x-y)}$

Пример В

$\frac{p-1}{p-2}-\frac{p+1}{p-2}$

1. Общий знаменатель у дробей уже одинаковый, поэтому можно вычесть числители:

$\frac{(p-1)-(p+1)}{p-2}$

1. Упростим числитель:

$\frac{p-1-p-1}{p-2}=\frac{-2}{p-2}$

Таким образом, окончательный ответ:

$-\frac{2}{p-2}$

Надеюсь, это поможет вам в понимании упрощения алгебраических дробей!