Упростите алгебраические дроби: А) m-n+4mn:(m-n) Б)2:(x-y)+(x-y):xy В)(p-1):(p-2) - (p+1):(p-2)

А) Для упрощения данного выражения сначала приведем дробь к общему знаменателю (m-n):

m-n+4mn:(m-n) = (m-n)^2/(m-n) + 4mn/(m-n) = (m^2 - 2mn + n^2 + 4mn)/(m-n) = (m^2 + 2mn + n^2)/(m-n)

Б) Приведем дроби к общему знаменателю (xy):

2:(x-y) + (x-y):xy = 2y/(xy) + (x-y^2)/(xy) = (2y + x - y^2)/(xy)

В) Приведем дроби к общему знаменателю (p-2):

(p-1)/(p-2) - (p+1)/(p-2) = (p-1 - (p+1))/(p-2) = (p-1 - p - 1)/(p-2) = (-2)/(p-2)

Конечно, давайте разберем каждый из предложенных примеров по порядку и упростим алгебраические дроби.

Пример А

( m - n + \frac{4mn}{m - n} )

Для начала стоит заметить, что мы имеем дело с алгебраической дробью и алгебраическим выражением. Чтобы упростить данное выражение, нужно привести его к общему знаменателю:

1. Общий знаменатель для дроби и выражения ( m - n ) будет ( m - n ).
2. Приведем выражение к общему знаменателю:

[ m - n + \frac{4mn}{m - n} = \frac{(m - n)(m - n)}{m - n} + \frac{4mn}{m - n} ]

1. Упростим числитель:

[ \frac{(m - n)^2 + 4mn}{m - n} ]

1. Раскроем квадратный член:

[ \frac{m^2 - 2mn + n^2 + 4mn}{m - n} ]

1. Сложим подобные члены:

[ \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m - n} ]

1. Числитель можно разложить по формуле квадрата суммы:

[ \frac{(m + n)^2}{m - n} ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \frac{(m + n)^2}{m - n} ]

Пример Б

[ \frac{2}{x - y} + \frac{x - y}{xy} ]

Для упрощения этого выражения, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен ( xy(x - y) ):

1. Приведем первую дробь к общему знаменателю:

[ \frac{2}{x - y} = \frac{2xy}{xy(x - y)} ]

1. Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

[ \frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x - y)}{xy(x - y)} = \frac{(x - y)^2}{xy(x - y)} ]

1. Сложим дроби:

[ \frac{2xy + (x - y)^2}{xy(x - y)} ]

1. Раскроем квадратный член:

[ \frac{2xy + x^2 - 2xy + y^2}{xy(x - y)} ]

1. Сложим подобные члены:

[ \frac{x^2 + y^2}{xy(x - y)} ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \frac{x^2 + y^2}{xy(x - y)} ]

Пример В

[ \frac{p - 1}{p - 2} - \frac{p + 1}{p - 2} ]

1. Общий знаменатель у дробей уже одинаковый, поэтому можно вычесть числители:

[ \frac{(p - 1) - (p + 1)}{p - 2} ]

1. Упростим числитель:

[ \frac{p - 1 - p - 1}{p - 2} = \frac{-2}{p - 2} ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ -\frac{2}{p - 2} ]

Надеюсь, это поможет вам в понимании упрощения алгебраических дробей!