Упростите выражения: 1)sin(П+а)+cos(3П/2-а) 2)tg(П/2+а)-ctg(2П-а) 3)cos2a+2 sin^2(П-а) 4)sina/1+cosa+sina/1-cosa

1) sin(П+а) + cos(3П/2-а) = sinПcosа + cosПsina - sinа + cosа = cosа - sinа

2) tg(П/2+а) - ctg(2П-а) = cotgа - tgа

3) cos2a + 2 sin^2(П-а) = cos2a + 2(sinПcosa - cosПsina) = cos2a + 2sinПcosa - 2cosПsina

4) sina/(1+cosa) + sina/(1-cosa) = 2sina/1-cosa^2 = 2sina/sina^2 = 2/sina

Конечно, давайте упростим каждое из выражений по очереди:

1) (\sin(\pi + \alpha) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right))

• (\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)), потому что синус увеличивается на (\pi), что приводит к смене знака.
• (\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)), так как (\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)) эквивалентно (\sin(\alpha)).

Объединяя, получаем: (-\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = 0).

2) (\tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - \cot(2\pi - \alpha))

• (\tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot(\alpha)), так как (\tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)) — это обратная функция для (\alpha) с отрицательным знаком.
• (\cot(2\pi - \alpha) = -\cot(\alpha)), так как (\cot(2\pi - \alpha)) также является обратной функцией для (\alpha) с отрицательным знаком.

Объединяя, получаем: (-\cot(\alpha) - (-\cot(\alpha)) = 0).

3) (\cos(2\alpha) + 2\sin^2(\pi - \alpha))

• (\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) (основное тригонометрическое тождество).
• (\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)), так как синус сохраняет свое значение при (\pi - \alpha).
• Следовательно, (2\sin^2(\pi - \alpha) = 2\sin^2(\alpha)).

Объединяя, получаем: (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) + 2\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)).

Используя основное тригонометрическое тождество, (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1).

4) (\frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)})

• Найдем общий знаменатель: ((1 + \cos(\alpha))(1 - \cos(\alpha)) = 1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)).
• Перепишем выражение с общим знаменателем: [ \frac{\sin(\alpha)(1 - \cos(\alpha)) + \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))}{\sin^2(\alpha)} ]
• Раскроем скобки в числителе: [ \sin(\alpha) - \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(\alpha) ]
• Таким образом, выражение упрощается до: [ \frac{2\sin(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{2}{\sin(\alpha)} = 2\csc(\alpha) ]

Таким образом, упрощенные выражения будут:

1) (0)

2) (0)

3) (1)

4) (2\csc(\alpha))

1) sin(П+а) = sinПcosа + cosПsinа = sinПcosа + (-sinа) = sin(П - а) cos(3П/2-а) = cos(3П/2)cosа + sin(3П/2)sinа = 0cosа + (-1)sinа = -sinа Упрощаем: sin(П - а) - sinа = sinПcosа - sinа = sinПcosа - sinПcosа = 0

2) tg(П/2+а) = cos(П/2+а)/sin(П/2+а) = sinа/cosа = tgа ctg(2П-а) = cos(2П-а)/sin(2П-а) = cosа/(-sinа) = -ctgа Упрощаем: tgа - (-ctgа) = tgа + ctgа

3) cos2a = cos^2a - sin^2a = 1 - sin^2a - sin^2(П - а) = 1 - sin^2a - sin^2Пcosа + sinПsinа = 1 - sin^2a - sin^2a = 1 - 2sin^2a Упрощаем: 1 - 2sin^2a + 2sin^2(П - а) = 1 - 2sin^2a + 2(sin^2Пcosа - sinПsinа) = 1 - 2sin^2a + 2sin^2a = 1

4) sina/1+cosa + sina/1-cosa = sina/(1+cosa) + sina/(1-cosa) Умножаем первое слагаемое на (1-cosa)/(1-cosa) и второе на (1+cosa)/(1+cosa): sina(1-cosa)/((1+cosa)(1-cosa)) + sina(1+cosa)/((1+cosa)(1-cosa)) = sina - sinacosа + sina + sinacosа = 2sina/(1-cosa)