Упростите выражение 1-cos 2a / sin 2a

1 - cos 2a / sin 2a = tan^2 a

Конечно, давайте упростим выражение (\frac{1 - \cos 2a}{\sin 2a}).

Для начала вспомним, что тригонометрическая функция (\cos 2a) может быть выражена через (\cos a) и (\sin a) несколькими способами. Один из них: [ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a ]

Также полезно помнить, что: [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]

Теперь подставим выражение для (\cos 2a) в наше исходное выражение: [ \frac{1 - \cos 2a}{\sin 2a} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 a)}{\sin 2a} ]

Упростим числитель: [ 1 - (1 - 2\sin^2 a) = 1 - 1 + 2\sin^2 a = 2\sin^2 a ]

Таким образом, наше выражение теперь выглядит так: [ \frac{2\sin^2 a}{\sin 2a} ]

Теперь подставим выражение для (\sin 2a): [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]

Тогда выражение перепишем: [ \frac{2\sin^2 a}{2 \sin a \cos a} ]

Сократим на (2 \sin a): [ \frac{\sin a}{\cos a} ]

Зная, что (\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a), окончательно получим: [ \tan a ]

Таким образом, упрощенное выражение равно (\tan a).

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами тригонометрии.

Сначала разложим исходные функции в более простые: cos 2a = cos^2 a - sin^2 a sin 2a = 2sin a * cos a

Теперь подставим их в исходное выражение: 1 - (cos^2 a - sin^2 a) / (2sin a * cos a)

Раскроем скобки в числителе: 1 - cos^2 a + sin^2 a / 2sin a * cos a

Упростим числитель: 1 - cos^2 a + sin^2 a = 1 Так как по тригонометрическому тождеству cos^2 a + sin^2 a = 1

Теперь подставим это значение в исходное выражение: 1 / 2sin a * cos a

Далее можно разложить знаменатель на произведение двух синусов и косинусов: 1 / sin a * cos a = ctn a

Таким образом, упрощенное выражение равно ctn a.