Упростите выражение (10*2^n)/(2^(n+1)+2^(n-1))
Упростите выражение (10*2^n)/(2^(n+1)+2^(n-1))
Для упрощения данного выражения ((10 \cdot 2^n) / (2^{n+1} + 2^{n-1})) начнем с знаменателя. Используем свойства степеней для его преобразования:
Теперь подставим эти выражения в знаменатель:
[ 2^{n+1} + 2^{n-1} = 2^n \cdot 2 + 2^n / 2 ]
Приведем подобные слагаемые, учитывая, что все они содержат множитель (2^n):
[ 2^{n+1} + 2^{n-1} = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{2} \cdot 2^n = (2 + \frac{1}{2}) \cdot 2^n = \frac{4}{2} \cdot 2^n + \frac{1}{2} \cdot 2^n = \frac{5}{2} \cdot 2^n ]
Теперь у нас есть:
[ (10 \cdot 2^n) / (\frac{5}{2} \cdot 2^n) ]
Упростим это выражение, сократив (2^n):
[ 10 / \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{2}{5} = 4 ]
Получили результат: (4). Таким образом, исходное выражение упрощается до числа 4.
Для упрощения данного выражения мы можем преобразовать его, используя свойства степеней. Сначала выразим числитель 102^n как 2^(n+1) (поскольку 10 = 2 5), тогда выражение примет вид:
2^(n+1) / (2^(n+1) + 2^(n-1))
Затем преобразуем знаменатель, объединив два слагаемых с основанием 2:
2^(n+1) / (2^(n+1) + 2^(n-1)) = 2^(n+1) / (2 * 2^n)
Теперь можно сократить на 2 в знаменателе:
2^(n+1) / (2 * 2^n) = 2^n / 2^n
И, наконец, сокращаем одинаковые степени:
2^n / 2^n = 1
Итак, упрощенное выражение равно 1.
