Упростите выражение 9х^2-1 дробь 1+6х+9х^2 найдите его числовое выражение при х=5/6

Для того чтобы упростить выражение (\frac{9x^2 - 1}{1 + 6x + 9x^2}), сначала рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Шаг 1: Упрощение числителя

Числитель (9x^2 - 1) можно рассматривать как разность квадратов, потому что: [ 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2. ]

Разность квадратов раскладывается по формуле: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). ]

В нашем случае: [ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1). ]

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Знаменатель (1 + 6x + 9x^2) можно представить как полный квадрат: [ 1 + 6x + 9x^2 = (3x + 1)^2. ]

Шаг 3: Объединение и сокращение

Теперь подставим разложения в исходное выражение: [ \frac{9x^2 - 1}{1 + 6x + 9x^2} = \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(3x + 1)^2}. ]

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: [ \frac{(3x - 1)\cancel{(3x + 1)}}{\cancel{(3x + 1)}(3x + 1)} = \frac{3x - 1}{3x + 1}. ]

Шаг 4: Подставим (x = \frac{5}{6})

Теперь найдём значение упрощённого выражения при (x = \frac{5}{6}): [ \frac{3 \cdot \frac{5}{6} - 1}{3 \cdot \frac{5}{6} + 1}. ]

Посчитаем числитель: [ 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}. ] [ \frac{5}{2} - 1 = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2}. ]

Посчитаем знаменатель: [ 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2}. ] [ \frac{5}{2} + 1 = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} = \frac{7}{2}. ]

Таким образом, значение выражения: [ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{7}. ]

Итак, числовое значение выражения при (x = \frac{5}{6}) равно (\frac{3}{7}).

Для упрощения данного выражения нужно сначала привести его к общему знаменателю:

(9x^2 - 1) / (1 + 6x + 9x^2)

Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе:

9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) 1 + 6x + 9x^2 = (1 + 3x)(1 + 3x) = (1 + 3x)^2

Теперь выражение примет вид:

(3x - 1)(3x + 1) / (1 + 3x)^2

Упростим числитель:

(3x - 1)(3x + 1) = 9x^2 - 1

Теперь у нас получается:

(9x^2 - 1) / (1 + 3x)^2

Подставим x = 5/6:

(9(5/6)^2 - 1) / (1 + 3(5/6))^2 = (9(25/36) - 1) / (1 + 15/6)^2 = (25 - 1) / (1 + 5/2)^2 = 24 / (7/2)^2 = 24 / (49/4) = 24 4 / 49 = 96 / 49

Итак, числовое значение выражения при x = 5/6 равно 96/49.