Упростите выражение a^3*(a^4)^2

Для упрощения выражения ( a^3 \cdot (a^4)^2 ) давайте разберем его пошагово, применяя свойства степеней.

Шаг 1: Свойство степеней при возведении в степень

Когда степень возводится в степень, показатели степеней перемножаются. Формула выглядит так: [ (a^m)^n = a^{m \cdot n}. ] В выражении ( (a^4)^2 ) основание ( a ) возводится сначала в степень ( 4 ), а затем во вторую степень. Применяя формулу, получаем: [ (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8. ]

Теперь выражение можно записать как: [ a^3 \cdot a^8. ]

Шаг 2: Свойство степеней при умножении

Когда степени с одинаковым основанием умножаются, их показатели складываются. Формула: [ a^m \cdot a^n = a^{m + n}. ] В данном случае ( a^3 \cdot a^8 ) имеет общее основание ( a ). Складываем показатели степеней: [ 3 + 8 = 11. ]

Таким образом: [ a^3 \cdot a^8 = a^{11}. ]

Ответ:

Упрощённое выражение: [ a^{11}. ]

Упрощенное выражение: ( a^{3 + 8} = a^{11} ).

Чтобы упростить выражение ( a^3 \cdot (a^4)^2 ), применим свойства степеней.

1. Начнем с упрощения части ((a^4)^2). Согласно правилу возведения степени в степень, мы умножаем показатели степеней: [ (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8. ]

2. Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение: [ a^3 \cdot (a^4)^2 = a^3 \cdot a^8. ]

3. Применим еще одно свойство степеней: при умножении чисел с одинаковым основанием мы складываем их показатели: [ a^3 \cdot a^8 = a^{3 + 8} = a^{11}. ]

Таким образом, упрощенное выражение будет: [ a^{11}. ]