Упростите выражение cos a / (1+sin a)+tg a

Для упрощения данного выражения нам необходимо привести все функции тригонометрии к одной функции (косинусу или синусу) и затем привести подобные слагаемые. Для этого воспользуемся формулами тригонометрии:

1. tg a = sin a / cos a
2. 1 + sin^2 a = cos^2 a
3. cos a / (1 + sin a) = cos a / (1 + sin a) * cos a / cos a = cos^2 a / (1 + sin a)

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

cos^2 a / (1 + sin a) + sin a / cos a

Теперь приведем общий знаменатель и сложим дроби:

(cos^2 a + sin a) / (1 + sin a)

Таким образом, упрощенным выражением будет (cos^2 a + sin a) / (1 + sin a).

Для упрощения выражения (\frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a), мы можем использовать несколько тригонометрических тождеств. Давайте сделаем это шаг за шагом.

1. Выразим (\tan a) в терминах синуса и косинуса: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Подставим это в исходное выражение: [ \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} ]

2. Приведем к общему знаменателю: Чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет ((1 + \sin a)\cos a): [ \frac{\cos^2 a}{(1 + \sin a)\cos a} + \frac{\sin a(1 + \sin a)}{(1 + \sin a)\cos a} ]

3. Объединим дроби: Теперь у нас есть общий знаменатель, так что мы можем объединить дроби: [ \frac{\cos^2 a + \sin a(1 + \sin a)}{(1 + \sin a)\cos a} ]

4. Упростим числитель: Раскроем скобки в числителе: [ \cos^2 a + \sin a + \sin^2 a ] Используя основное тригонометрическое тождество (\cos^2 a + \sin^2 a = 1), мы можем заменить часть выражения: [ 1 + \sin a ]

5. Упростим дробь: Теперь наш числитель — это (1 + \sin a), и у нас такой же знаменатель ((1 + \sin a)\cos a): [ \frac{1 + \sin a}{(1 + \sin a)\cos a} ]

   Поскольку (1 + \sin a) не равно нулю, мы можем сократить: [ \frac{1}{\cos a} ]

6. Выразим результат: (\frac{1}{\cos a}) равно (\sec a), поэтому: [ \frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a = \sec a ]

Таким образом, выражение (\frac{\cos a}{1 + \sin a} + \tan a) упрощается до (\sec a).