Упростите выражение: ctg^2t * ( cos^2t - 1 ) +1 Помогите пожалуйста , решение с объяснением.

Конечно, давайте упростим выражение:

[ \cot^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1. ]

Шаг 1: Применим тригонометрические тождества

Первое, что нужно сделать, это вспомнить некоторые базовые тригонометрические тождества:

1. (\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}), следовательно, (\cot^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}).
2. (\cos^2 t - 1) можно переписать, используя основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 t = 1 - \cos^2 t). Таким образом, (\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t).

Шаг 2: Подставим тождества в выражение

Теперь подставим эти тождества в исходное выражение:

[ \cot^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1 = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) + 1. ]

Шаг 3: Упростим выражение

Заметим, что в выражении (\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t)) (\sin^2 t) в числителе и знаменателе сокращаются:

[ \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) = -\cos^2 t. ]

Теперь у нас осталось:

[ -\cos^2 t + 1. ]

Шаг 4: Применим основное тригонометрическое тождество

Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), чтобы выразить (1 - \cos^2 t) через (\sin^2 t):

[ -\cos^2 t + 1 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t. ]

Таким образом, упрощенное выражение:

[ \sin^2 t. ]

Итак, исходное выражение (\cot^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1) упрощается до (\sin^2 t).

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса в виде отношения синуса к косинусу: ctg^2t = 1/tg^2t = cos^2t/sin^2t

Таким образом, исходное выражение примет вид: cos^2t/sin^2t * ( cos^2t - 1 ) +1 = (cos^4t - cos^2t) / sin^2t + 1 = cos^4t/sin^2t - cos^2t/sin^2t + 1 = cos^4t/sin^2t - ctg^2t + 1

Теперь вспомним, что ctg^2t = cos^2t/sin^2t, и подставим это значение: = cos^4t/sin^2t - cos^2t/sin^2t + 1 = ctg^2t - ctg^2t + 1 = 1

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.