Упростите выражение Под квадратным корнем пи^2-8пи+16

Давайте рассмотрим выражение ( \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} ) и упростим его.

Шаг 1: Распознаем полный квадрат

Обратим внимание на выражение под квадратным корнем: ( \pi^2 - 8\pi + 16 ). Попробуем разложить его на множители, проверяя, является ли оно полным квадратом.

Для этого вспоминаем формулу квадрата разности: [ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ]

Сравниваем:

• В нашем случае ( a = \pi ),
• А ( b^2 = 16 ), значит ( b = 4 ).

Проверяем: [ (\pi - 4)^2 = \pi^2 - 2 \cdot \pi \cdot 4 + 4^2 = \pi^2 - 8\pi + 16. ]

Действительно, выражение ( \pi^2 - 8\pi + 16 ) можно записать как: [ \pi^2 - 8\pi + 16 = (\pi - 4)^2. ]

Шаг 2: Упрощение квадратного корня

Теперь подставим разложение в исходное выражение: [ \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi - 4)^2}. ]

Корень квадратный из полного квадрата равен модулю выражения: [ \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 4|. ]

Шаг 3: Ответ

Таким образом, упрощённое выражение равно: [ |\pi - 4|. ]

Объяснение результата:

Модуль ( |\pi - 4| ) означает, что результат всегда будет неотрицательным:

• Если ( \pi \geq 4 ), то ( |\pi - 4| = \pi - 4 ),
• Если ( \pi < 4 ), то ( |\pi - 4| = 4 - \pi ).

Итак, итоговое упрощённое выражение: [ \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = |\pi - 4|. ]

Для упрощения выражения под квадратным корнем (\pi^2 - 8\pi + 16) сначала можно распознать это как полный квадрат.

Выражение можно записать так: [ \pi^2 - 8\pi + 16 = (\pi - 4)^2 ]

Таким образом, под квадратным корнем будет: [ \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 4| ]

Ответ: (|\pi - 4|).

Чтобы упростить выражение под квадратным корнем ( \pi^2 - 8\pi + 16 ), начнем с его анализа. Это выражение является квадратным многочленом по переменной ( \pi ).

1. Определение коэффициентов: У нас есть квадратный многочлен в форме ( a\pi^2 + b\pi + c ), где:

   • ( a = 1 )
   • ( b = -8 )
   • ( c = 16 )

2. Нахождение дискриминанта: Дискриминант ( D ) квадратного уравнения определяется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] Подставим наши значения: [ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 ] Поскольку дискриминант равен нулю, это означает, что квадратный многочлен имеет один (двойной) корень.

3. Нахождение корня: Корень можно найти по формуле: [ \pi = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] Подставим значения: [ \pi = \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 ] Таким образом, ( \pi^2 - 8\pi + 16 ) можно представить как ( (\pi - 4)^2 ).

4. Упрощение под квадратным корнем: Теперь подставим это обратно в квадратный корень: [ \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi - 4)^2} ] Поскольку квадратный корень и квадрат взаимно уничтожают друг друга, мы получаем: [ \sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 4| ]

5. Заключение: Таким образом, окончательный результат упрощения выражения под квадратным корнем будет: [ |\pi - 4| ]

Это означает, что результат зависит от значения ( \pi ): если ( \pi ) больше 4, то ( |\pi - 4| = \pi - 4 ); если меньше или равно 4, то ( |\pi - 4| = 4 - \pi ).