Упростите выражение sin(a-b)+sinbcosa/tga

Для того чтобы упростить выражение (\sin(a - b) + \sin(b) \cos(a) / \tan(a)), давайте рассмотрим каждый его компонент по отдельности и используем тригонометрические тождества.

1. Разложим (\sin(a - b)) с помощью тригонометрического тождества для разности углов: [ \sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) ]

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения (\sin(b) \cos(a) / \tan(a)). Заменим (\tan(a)) на (\sin(a) / \cos(a)): [ \frac{\sin(b) \cos(a)}{\tan(a)} = \frac{\sin(b) \cos(a)}{\sin(a) / \cos(a)} = \frac{\sin(b) \cos(a) \cos(a)}{\sin(a)} = \frac{\sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Теперь у нас есть два выражения: [ \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) \quad и \quad \frac{\sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} ]

1. Объединим их в одно выражение: [ \sin(a - b) + \frac{\sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} ]

2. Для дальнейшего упрощения нужно объединить эти дроби. Приведем их к общему знаменателю: [ \sin(a - b) + \frac{\sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} = \sin(a - b) + \frac{\sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Так как (\sin(a - b)) уже имеет правильный вид, преобразуем только вторую часть: [ = \frac{\sin(a) (\sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b)) + \sin(b) \cos^2(a)}{\sin(a)} ]

1. Упростим числитель: [ \sin(a) \sin(a) \cos(b) - \sin(a) \cos(a) \sin(b) + \sin(b) \cos^2(a) ]

2. Сгруппируем и упростим: [ = \sin^2(a) \cos(b) - \sin(a) \cos(a) \sin(b) + \sin(b) \cos^2(a) = \sin^2(a) \cos(b) + \sin(b) (\cos^2(a) - \sin(a) \cos(a)) ]

3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством (\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1): [ = \sin^2(a) \cos(b) + \sin(b) (\cos^2(a) - \sin(a) \cos(a)) ]

4. Упростим выражение: [ = \sin^2(a) \cos(b) + \sin(b) (\cos^2(a) - \sin(a) \cos(a)) ]

Таким образом, окончательно упрощенное выражение будет: [ \frac{\sin^2(a) \cos(b) + \sin(b) (\cos^2(a) - \sin(a) \cos(a))}{\sin(a)} ]

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулой для синуса разности углов: sin(x-y) = sinxcosy - cosxsiny.

Исходное выражение sin(a-b) + sinbcosa / tan a можно переписать следующим образом: sin a cos b - cos a sin b + sin b cos a / sin a * cos a.

Далее объединим подобные члены: sin a cos b - cos a sin b + sin b cos a, где sin b cos a и - cos a sin b взаимно уничтожаются, остается sin a cos b.

Таким образом, упрощенное выражение равно sin a * cos b.