Упростите выражение: sint*cost (tgt+ctgt)

Для упрощения данного выражения начнем с анализа его составляющих. У нас есть выражение:

[ \sin t \cdot \cos t \cdot (\tan t + \cot t) ]

Где:

• (\sin t) и (\cos t) — это синус и косинус угла (t).
• (\tan t) — это тангенс угла (t), равный (\frac{\sin t}{\cos t}).
• (\cot t) — это котангенс угла (t), равный (\frac{\cos t}{\sin t}).

Подставим эти выражения в наше уравнение:

[ \sin t \cdot \cos t \cdot \left(\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}\right) ]

Теперь упростим выражение внутри скобок:

[ \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t}{\sin t \cdot \cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} ]

Согласно основному тригонометрическому тождеству, (\sin^2 t + \cos^2 t = 1). Таким образом, наше выражение упрощается до:

[ \frac{1}{\sin t \cdot \cos t} ]

Теперь вернемся к исходному выражению:

[ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{1}{\sin t \cdot \cos t} ]

Эти множители (\sin t \cdot \cos t) сокращаются:

[ 1 ]

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.

Для упрощения данного выражения необходимо воспользоваться формулами тригонометрии. Сначала раскроем скобки внутри синуса и косинуса: sintcost(tgt+ctgt) = sintcosttgt + sintcost*ctgt

Затем воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами: tg(a) = sin(a)/cos(a) и ctg(a) = cos(a)/sin(a)

Заменим tg и ctg в выражении: sintcosttgt = sintcostsin(t) / cos(t) sintcostctgt = sintcostcos(t) / sin(t)

Теперь упростим полученные выражения: sintcostsin(t) / cos(t) + sintcostcos(t) / sin(t) = sint^2cost/cos(t) + sintcost^2/sin(t)

Таким образом, упрощенное выражение: sint^2cost/cos(t) + sintcost^2/sin(t)