Упростите выражение:(3-b)(3+b)(9+b^2)+(4+b^2)^2 и найдите его значение при b=1/3

Для упрощения данного выражения раскроем скобки:

(3-b)(3+b)(9+b^2) = (9 - 3b + 3b - b^2)(9 + b^2) = (9 - b^2)(9 + b^2) = 81 - 9b^2 + 9b^2 - b^4 = 81 - b^4

(4 + b^2)^2 = (4 + b^2)(4 + b^2) = 16 + 4b^2 + 4b^2 + b^4 = 16 + 8b^2 + b^4

Теперь сложим полученные выражения:

(3-b)(3+b)(9+b^2) + (4+b^2)^2 = 81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4 = 97 + 8b^2

Теперь найдем значение этого выражения при b = 1/3:

97 + 8(1/3)^2 = 97 + 8 * 1/9 = 97 + 8/9 = 873/9 + 8/9 = 881/9

Итак, упрощенное выражение равно 881/9.

Чтобы упростить выражение ((3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2) и найти его значение при (b = \frac{1}{3}), следуем следующим шагам.

Упрощение выражения

1. Рассмотрим первую часть выражения: ((3 - b)(3 + b)(9 + b^2))

   • Начнем с упрощения произведения ((3 - b)(3 + b)). Это разность квадратов: [ (3 - b)(3 + b) = 3^2 - b^2 = 9 - b^2 ]

   • Теперь умножим это на ((9 + b^2)): [ (9 - b^2)(9 + b^2) = 9^2 - (b^2)^2 = 81 - b^4 ]

   Таким образом, первая часть упрощается до (81 - b^4).

2. Рассмотрим вторую часть выражения: ((4 + b^2)^2)

   • Используем формулу квадрата суммы: [ (4 + b^2)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot b^2 + (b^2)^2 = 16 + 8b^2 + b^4 ]

3. Сложим обе части выражения:

   [ (81 - b^4) + (16 + 8b^2 + b^4) ]

   • Объединяем подобные члены: [ 81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4 = 97 + 8b^2 ]

   Таким образом, упрощенное выражение: (97 + 8b^2).

Нахождение значения при (b = \frac{1}{3})

Теперь подставим (b = \frac{1}{3}) в упрощенное выражение (97 + 8b^2):

[ b^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} ]

[ 8b^2 = 8 \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

Добавим это к 97:

[ 97 + \frac{8}{9} = 97 + \frac{8}{9} = \frac{873}{9} + \frac{8}{9} = \frac{881}{9} ]

Таким образом, значение выражения при (b = \frac{1}{3}) равно (\frac{881}{9}).