В арифметической прогрессии а5=3 и а9=15 наидите сумму первых 30 членов

Для нахождения суммы первых 30 членов арифметической прогрессии, в данном случае, нам необходимо знать значение первого члена (a1) и разности (d).

Используем формулу для нахождения общего члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n - 1)d,

где an - значение n-го члена, a1 - значение первого члена, n - порядковый номер члена, d - разность.

Из условия задачи известно, что а5 = 3 и а9 = 15. Подставим эти значения в формулу и составим систему уравнений: a5 = a1 + 4d = 3, a9 = a1 + 8d = 15.

Решив данную систему уравнений, найдем a1 = -17 и d = 5.

Теперь можем найти сумму первых 30 членов арифметической прогрессии, используя формулу: S30 = (30/2)(2a1 + (30-1)d).

Подставляем найденные значения a1 и d и получаем: S30 = (30/2)(2(-17) + 295) = 15( -34 + 145) = 15 * 111 = 1665.

Таким образом, сумма первых 30 членов данной арифметической прогрессии равна 1665.

В арифметической прогрессии каждый член можно выразить через первый член ( a_1 ) и разность ( d ) прогрессии. Общая формула для ( n )-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

[ a_n = a_1 + (n - 1)d ]

Даны два члена прогрессии: [ a_5 = 3 ] [ a_9 = 15 ]

Подставим их в формулу:

Для ( a_5 ): [ a_1 + 4d = 3 \quad \text{(1)} ]

Для ( a_9 ): [ a_1 + 8d = 15 \quad \text{(2)} ]

Теперь решим систему уравнений (1) и (2). Для этого вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

[ (a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 15 - 3 ] [ a_1 + 8d - a_1 - 4d = 12 ] [ 4d = 12 ] [ d = 3 ]

Теперь подставим значение ( d ) в уравнение (1) для нахождения ( a_1 ):

[ a_1 + 4 \cdot 3 = 3 ] [ a_1 + 12 = 3 ] [ a_1 = 3 - 12 ] [ a_1 = -9 ]

Теперь у нас есть ( a_1 = -9 ) и ( d = 3 ). Найдем сумму первых 30 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии:

[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n - 1)d\right) ]

Подставим в эту формулу наши значения для ( n = 30 ), ( a_1 = -9 ) и ( d = 3 ):

[ S{30} = \frac{30}{2} \left(2 \cdot (-9) + (30 - 1) \cdot 3\right) ] [ S{30} = 15 \left(-18 + 29 \cdot 3\right) ] [ S{30} = 15 \left(-18 + 87\right) ] [ S{30} = 15 \cdot 69 ] [ S_{30} = 1035 ]

Таким образом, сумма первых 30 членов данной арифметической прогрессии равна 1035.