В арифметической прогрессии d=3,an=59,Sn=610. Найти n и а1

В арифметической прогрессии, где разность ( d = 3 ), последний член ( a_n = 59 ), и сумма первых ( n ) членов ( S_n = 610 ), нужно найти количество членов ( n ) и первый член ( a_1 ).

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Формула ( n )-го члена арифметической прогрессии: [ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]

2. Формула суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) ]

Шаги решения:

1. Используем формулу суммы ( S_n ) для нахождения ( a_1 ):

   Подставим известные значения в формулу суммы: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = 610 ]

   [ \frac{n}{2} \cdot (a_1 + 59) = 610 ]

   Упростим: [ n \cdot (a_1 + 59) = 1220 ]

   [ a_1 + 59 = \frac{1220}{n} ]

   [ a_1 = \frac{1220}{n} - 59 ]

2. Используем формулу для ( a_n ) для нахождения связи между ( a_1 ) и ( n ):

   [ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]

   Подставим известные значения: [ 59 = a_1 + (n-1) \cdot 3 ]

   [ 59 = a_1 + 3n - 3 ]

   [ a_1 = 59 - 3n + 3 ]

   [ a_1 = 62 - 3n ]

3. Решаем систему уравнений:

   Из предыдущих шагов у нас есть два выражения для ( a_1 ): [ a_1 = \frac{1220}{n} - 59 ] [ a_1 = 62 - 3n ]

   Приравняем их: [ \frac{1220}{n} - 59 = 62 - 3n ]

   [ \frac{1220}{n} = 121 - 3n ]

   Умножим на ( n ) для избавления от дроби: [ 1220 = n \cdot (121 - 3n) ]

   Раскроем скобки: [ 1220 = 121n - 3n^2 ]

   Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: [ 3n^2 - 121n + 1220 = 0 ]

   Найдём ( n ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-121)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1220 ]

   [ D = 14641 - 14640 = 1 ]

   Так как дискриминант является полным квадратом, найдем корни: [ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{121 \pm 1}{6} ]

   [ n_1 = \frac{122}{6} = 20.33 ] [ n_2 = \frac{120}{6} = 20 ]

   ( n ) должно быть целым числом, поэтому ( n = 20 ).

4. Находим ( a_1 ):

   Подставим значение ( n ) обратно в одно из выражений для ( a_1 ): [ a_1 = 62 - 3 \cdot 20 = 62 - 60 = 2 ]

Ответ:

( n = 20 ) и ( a_1 = 2 ).

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для суммы и n-го члена арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d, где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена.

Формула суммы n членов арифметической прогрессии: Sn = (n/2) * (a1 + an), где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Из условия задачи нам известно, что d = 3, an = 59, Sn = 610.

Подставим известные значения в формулы: an = a1 + (n-1)d, 59 = a1 + (n-1)*3, 59 = a1 + 3n - 3.

Sn = (n/2) (a1 + an), 610 = (n/2) (a1 + 59).

Теперь составим систему уравнений, используя найденные формулы:

59 = a1 + 3n - 3, 610 = (n/2) * (a1 + 59).

Решив данную систему уравнений, найдем значения n и a1.