В геометрической прогрессии (an) с положительными членами a3=5, a5=45. Найдите сумму первых пяти членов...

Для решения данной задачи нам нужно найти первый член прогрессии (a) и знаменатель прогрессии (q).

Из условия мы знаем, что a3 = 5 и a5 = 45. По определению геометрической прогрессии, a3 = aq^2 и a5 = aq^4.

Используя данные из условия, мы можем составить систему уравнений: aq^2 = 5 aq^4 = 45

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от переменной a: (q^4)/(q^2) = 45/5 q^2 = 9 q = 3

Подставим найденное значение q обратно в первое уравнение: a3^2 = 5 a9 = 5 a = 5/9

Теперь, когда мы нашли первый член прогрессии (a) и знаменатель (q), мы можем найти сумму первых пяти членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a*(1-q^n)/(1-q)

Подставим значения a, q и n = 5: S_5 = (5/9)(1-3^5)/(1-3) S_5 = (5/9)(1-243)/(-2) S_5 = (5/9)(-242)/(-2) S_5 = (5/9)(121) S_5 = 605/9 S_5 = 67.22

Итак, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна 67.22.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, сначала определим её общий множитель и первый член.

В геометрической прогрессии каждый член определяется формулой: [ a_n = a_1 \cdot r^{n-1}, ] где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( r ) — её знаменатель (общий множитель).

Даны: [ a_3 = 5 \quad \text{и} \quad a_5 = 45. ]

Подставим их в формулу для членов прогрессии:

1. ( a_3 = a_1 \cdot r^2 = 5, )
2. ( a_5 = a_1 \cdot r^4 = 45. )

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( a_1 ): [ \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = \frac{45}{5}, ] [ r^2 = 9. ]

Отсюда получаем: [ r = 3 \quad \text{(так как члены положительные)}. ]

Теперь найдем ( a_1 ) из первого уравнения: [ a_1 \cdot 3^2 = 5, ] [ a_1 \cdot 9 = 5, ] [ a_1 = \frac{5}{9}. ]

Теперь мы знаем ( a_1 ) и ( r ), можем найти первые пять членов прогрессии:

1. ( a_1 = \frac{5}{9}, )
2. ( a_2 = a_1 \cdot r = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}, )
3. ( a_3 = a_1 \cdot r^2 = \frac{5}{9} \cdot 9 = 5, )
4. ( a_4 = a_1 \cdot r^3 = \frac{5}{9} \cdot 27 = 15, )
5. ( a_5 = a_1 \cdot r^4 = \frac{5}{9} \cdot 81 = 45. )

Сумма первых пяти членов ( S_5 ) геометрической прогрессии: [ S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5. ]

Подставим найденные значения: [ S_5 = \frac{5}{9} + \frac{5}{3} + 5 + 15 + 45. ]

Приведём все дроби к общему знаменателю, чтобы сложить их: [ S_5 = \frac{5}{9} + \frac{15}{9} + \frac{45}{9} + \frac{135}{9} + \frac{405}{9}. ]

Сложим дроби: [ S_5 = \frac{5 + 15 + 45 + 135 + 405}{9}, ] [ S_5 = \frac{605}{9}. ]

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна (\frac{605}{9}).