В геометрической прогрессии b3+b5=450, а b4+b6=1350. найти сумму первых шести членов этой прогрессии

Для решения данной задачи обозначим первый член геометрической прогрессии через ( b_1 ), а её знаменатель через ( q ).

Сначала выразим ( b_3 ), ( b_4 ), ( b_5 ) и ( b_6 ) через ( b_1 ) и ( q ):

[ b_3 = b_1 q^2, ] [ b_4 = b_1 q^3, ] [ b_5 = b_1 q^4, ] [ b_6 = b_1 q^5. ]

Составим два уравнения на основе данных условий:

[ b_3 + b_5 = 450 \implies b_1 q^2 + b_1 q^4 = 450 \implies b_1 q^2 (1 + q^2) = 450, ] [ b_4 + b_6 = 1350 \implies b_1 q^3 + b_1 q^5 = 1350 \implies b_1 q^3 (1 + q^2) = 1350. ]

Теперь разделим второе уравнение на первое:

[ \frac{b_1 q^3 (1 + q^2)}{b_1 q^2 (1 + q^2)} = \frac{1350}{450} \implies q = 3. ]

Подставим найденное значение ( q ) в любое из исходных уравнений для нахождения ( b_1 ). Используем первое уравнение:

[ b_1 q^2 (1 + q^2) = 450 \implies b_1 \cdot 3^2 \cdot (1 + 3^2) = 450 \implies b_1 \cdot 9 \cdot 10 = 450 \implies b_1 \cdot 90 = 450 \implies b_1 = 5. ]

Теперь вычислим сумму первых шести членов геометрической прогрессии ( S_6 ):

[ S_6 = b_1 (1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5). ]

Подставим значения ( b_1 = 5 ) и ( q = 3 ):

[ S_6 = 5 (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5). ]

Вычислим степени тройки:

[ 3^2 = 9, ] [ 3^3 = 27, ] [ 3^4 = 81, ] [ 3^5 = 243. ]

Теперь вычислим сумму:

[ 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364. ]

Подставим это значение в формулу для суммы:

[ S_6 = 5 \cdot 364 = 1820. ]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна ( 1820 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами геометрической прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен b, а знаменатель равен q.

Тогда третий член прогрессии будет равен bq^2, пятый член - bq^4, четвертый член - bq^3, шестой член - bq^5.

Из условия задачи имеем: bq^2 + bq^4 = 450, bq^3 + bq^5 = 1350.

Разделим второе уравнение на первое: (bq^3 + bq^5) / (bq^2 + bq^4) = 1350 / 450, q + q^2 = 3.

Решая квадратное уравнение q^2 + q - 3 = 0, получаем два корня: q1 = 1, q2 = -3.

Поскольку знаменатель геометрической прогрессии не может быть отрицательным, то q = 1.

Теперь находим первый член прогрессии b, подставив q = 1 в одно из уравнений: b1^2 + b1^4 = 450, b + b = 450, 2b = 450, b = 225.

Таким образом, первый член прогрессии равен 225, знаменатель равен 1.

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S6 = b(1 - q^6) / (1 - q) = 225(1 - 1^6) / (1 - 1) = 225*0 / 0 = 0.

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 0.