В клас­се учит­ся 21 че­ло­век. Среди них две по­дру­ги: Аня и Нина. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят...

Чтобы найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, нам нужно рассмотреть общее количество способов, которыми можно разделить класс на группы, а также количество способов, при которых Аня и Нина окажутся в одной группе.

Общее количество способов разделить класс на группы:

1. Всего в классе 21 человек. Мы хотим разделить их на 7 групп по 3 человека в каждой.
2. Сначала выбираем 3 человека для первой группы, затем 3 человека для второй группы и так далее.

Формально, это можно представить следующим образом:

• Для первой группы выбираем 3 человека из 21: (\binom{21}{3}).
• Для второй группы выбираем 3 человека из оставшихся 18: (\binom{18}{3}).
• Для третьей группы выбираем 3 человека из оставшихся 15: (\binom{15}{3}).
• Для четвертой группы выбираем 3 человека из оставшихся 12: (\binom{12}{3}).
• Для пятой группы выбираем 3 человека из оставшихся 9: (\binom{9}{3}).
• Для шестой группы выбираем 3 человека из оставшихся 6: (\binom{6}{3}).
• Для последней, седьмой группы остается 3 человека: (\binom{3}{3}).

Таким образом, общее количество способов разделить класс на группы: [ \frac{\binom{21}{3} \cdot \binom{18}{3} \cdot \binom{15}{3} \cdot \binom{12}{3} \cdot \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{3} \cdot \binom{3}{3}}{7!} ] Здесь (7!) — это количество перестановок групп, так как порядок групп не имеет значения.

Количество способов, при которых Аня и Нина в одной группе:

1. Сначала выбираем третьего участника для группы, где уже есть Аня и Нина. Из оставшихся 19 человек выбираем одного: (\binom{19}{1}).
2. Оставшихся 18 человек нужно разделить на 6 групп по 3 человека. Это делается аналогично предыдущему случаю: [ \frac{\binom{18}{3} \cdot \binom{15}{3} \cdot \binom{12}{3} \cdot \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{3} \cdot \binom{3}{3}}{6!} ]

Вероятность:

Теперь вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: [ P = \frac{\binom{19}{1} \cdot \frac{\binom{18}{3} \cdot \binom{15}{3} \cdot \binom{12}{3} \cdot \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{3} \cdot \binom{3}{3}}{6!}}{\frac{\binom{21}{3} \cdot \binom{18}{3} \cdot \binom{15}{3} \cdot \binom{12}{3} \cdot \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{3} \cdot \binom{3}{3}}{7!}} ]

Упрощая, получаем: [ P = \frac{\binom{19}{1} \cdot 6!}{\binom{21}{3} \cdot 7} ]

Теперь подставляем числовые значения и считаем: [ \binom{19}{1} = 19, \quad \binom{21}{3} = \frac{21 \cdot 20 \cdot 19}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1330 ]

[ P = \frac{19 \cdot 720}{1330 \cdot 7} = \frac{13680}{9310} \approx 0.293 ]

Таким образом, вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, составляет примерно 0.293 или 29.3%.

Для того чтобы найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, нужно вычислить количество способов, которыми они могут быть размещены в группах, и поделить его на общее количество способов размещения всех учеников.

Сначала найдем общее количество способов размещения 21 ученика по 7 группам по 3 человека в каждой. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(21, 3) C(18, 3) C(15, 3) C(12, 3) C(9, 3) C(6, 3) C(3, 3).

Теперь найдем количество способов, при которых Аня и Нина окажутся в одной группе. Это можно сделать следующим образом: сначала выбрать 2 места из 3 для Ани и Нины, а затем разместить их в оставшемся месте. Это будет равно C(3, 2) * C(19, 1).

Итак, вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, будет равна отношению количества способов, при которых они окажутся в одной группе, к общему количеству способов размещения учеников по группам.

P = (C(3, 2) C(19, 1)) / (C(21, 3) C(18, 3) C(15, 3) C(12, 3) C(9, 3) C(6, 3) * C(3, 3)).

Далее можно вычислить значение этого выражения и получить вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.