В лотерее участвует 15 билетов, среди которых 3 выигрышных. Наугад вытянуты 2 билета. Какова вероятность...

Рассмотрим задачу по теории вероятностей, связанную с лотереей. У нас есть 15 билетов, среди которых 3 выигрышных и 12 невыигрышных. Мы случайным образом вытягиваем 2 билета и хотим определить вероятность следующих событий:

а) Оба вытянутых билета выигрышные. б) Только один билет выигрышный. в) Выигрышного билета не оказалось.

Для решения будем использовать формулу для нахождения вероятности, основанную на сочетаниях.

Общее количество возможных исходов

Первоначально найдем общее количество способов выбрать 2 билета из 15. Это можно сделать с помощью сочетаний:

[ C_{15}^{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 ]

а) Оба вытянутых билета выигрышные

Чтобы оба билета были выигрышными, нужно выбрать 2 билета из 3 выигрышных. Количество таких сочетаний:

[ C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 ]

Вероятность того, что оба вытянутых билета выигрышные, находим делением числа благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

[ P(\text{оба выигрышные}) = \frac{C{3}^{2}}{C{15}^{2}} = \frac{3}{105} = \frac{1}{35} \approx 0.0286 ]

б) Только один билет выигрышный

Чтобы один билет был выигрышным, а другой — нет, нужно выбрать 1 выигрышный билет из 3 и 1 невыигрышный билет из 12. Количество таких сочетаний:

[ C{3}^{1} \times C{12}^{1} = 3 \times 12 = 36 ]

Вероятность того, что только один билет выигрышный, находим так же:

[ P(\text{только один выигрышный}) = \frac{C{3}^{1} \times C{12}^{1}}{C_{15}^{2}} = \frac{36}{105} = \frac{12}{35} \approx 0.3429 ]

в) Выигрышного билета не оказалось

Чтобы ни один билет не был выигрышным, нужно выбрать 2 билета из 12 невыигрышных. Количество таких сочетаний:

[ C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 ]

Вероятность того, что выигрышного билета не оказалось:

[ P(\text{ни одного выигрышного}) = \frac{C{12}^{2}}{C{15}^{2}} = \frac{66}{105} = \frac{22}{35} \approx 0.6286 ]

Результаты

Таким образом, вероятности для каждого случая составляют:

• а) Оба вытянутых билета выигрышные: ( \frac{1}{35} \approx 0.0286 )
• б) Только один билет выигрышный: ( \frac{12}{35} \approx 0.3429 )
• в) Выигрышного билета не оказалось: ( \frac{22}{35} \approx 0.6286 )

Эти результаты показывают, какие шансы у вас есть при вытягивании двух билетов из данной лотереи.

Для решения данной задачи используем комбинаторику.

а) Вероятность того, что оба вытянутых билета будут выигрышными, равна отношению количества способов выбрать 2 выигрышных билета к общему количеству способов выбрать 2 билета: P(оба выигрышных) = C(3, 2) / C(15, 2) = 3 / 105 = 1/35.

б) Вероятность того, что только один билет будет выигрышным, равна сумме вероятностей выбора первого выигрышного и второго невыигрышного билета, и выбора первого невыигрышного и второго выигрышного билета: P(только один выигрышный) = (C(3, 1) C(12, 1) + C(12, 1) C(3, 1)) / C(15, 2) = (3 12 + 12 3) / 105 = 72 / 105 = 24 / 35.

в) Вероятность того, что не будет выигрышных билетов, равна отношению количества способов выбрать 2 невыигрышных билета к общему количеству способов выбрать 2 билета: P(нет выигрышных) = C(12, 2) / C(15, 2) = 66 / 105 = 22 / 35.