В параллелограмме abcd биссектриса острого угла равного 60 градусов, делит сторону параллелограмма на...

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, где угол $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$ $острыйугол$, и биссектриса этого угла делит сторону $BC$ на отрезки 25 см и 15 см, начиная от вершины тупого угла $D$.

Обозначим точки пересечения биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$ со стороной $BC$ как $E$, так что $BE=25\text{ см}$ и $EC=15\text{ см}$.

Шаг 1: Найдем длины сторон параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AB=CD$ и $AD=BC$. Обозначим длины $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$.

Из условия мы знаем, что $BE+EC=BC=b$, следовательно: $b=25+15=40\text{ см}$

Шаг 2: Найдем длину биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся теоремой о биссектрисе угла треугольника. Эта теорема утверждает, что биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В нашем случае: $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AD}$

Подставим известные значения: $\frac{25}{15}=\frac{a}{40}$

Решаем это уравнение для $a$: $\frac{25}{15}=\frac{a}{40}$ $\frac{5}{3}=\frac{a}{40}$ $a=\frac{5}{3}\times 40$ $a=\frac{200}{3}\text{ см}$

Теперь найдем длину биссектрисы $AE$ в треугольнике $ABD$ с углом $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$. Используем формулу длины биссектрисы: $AE=\sqrt{AB\cdot AD(1-\frac{B{D}^2}{(AB+AD{)}^2})}$

Мы знаем: $AB=a=\frac{200}{3}\text{ см}$ $AD=b=40\text{ см}$ $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos {60}^{\circ }}$ $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$

Подставим и найдем $BD$: $BD=\sqrt{{\left(\frac{200}{3}\right)}^2+{40}^2-2\cdot \frac{200}{3}\cdot 40\cdot \frac{1}{2}}$ $BD=\sqrt{\frac{40000}{9}+1600-\frac{8000}{3}}$ $BD=\sqrt{\frac{40000}{9}+\frac{14400}{9}-\frac{24000}{9}}$ $BD=\sqrt{\frac{30400}{9}}$ $BD=\frac{\sqrt{30400}}{3}$

Теперь подставим в формулу биссектрисы: $AE=\sqrt{\frac{200}{3}\cdot 40(1-\frac{{\left(\frac{\sqrt{30400}}{3}\right)}^2}{{(\frac{200}{3}+40)}^2})}$ $AE=\sqrt{\frac{8000}{3}(1-\frac{30400/9}{{\left(\frac{200+120}{3}\right)}^2})}$ $AE=\sqrt{\frac{8000}{3}(1-\frac{30400/9}{\frac{64000}{9}})}$ $AE=\sqrt{\frac{8000}{3}(1-\frac{30400}{64000})}$ $AE=\sqrt{\frac{8000}{3}\cdot \frac{33600}{64000}}$ $AE=\sqrt{\frac{8000\cdot 33600}{3\cdot 64000}}$ $AE=\sqrt{\frac{268800000}{192000}}$ $AE=\sqrt{1400}$ $AE\approx 37.42\text{ см}$

Шаг 3: Найдем меньшую диагональ параллелограмма

Для нахождения меньшей диагонали $AC$, воспользуемся формулой для диагонали параллелограмма: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos (\mathrm{\angle }A)}$

Подставим известные значения: $AC=\sqrt{{\left(\frac{200}{3}\right)}^2+{40}^2-2\cdot \frac{200}{3}\cdot 40\cdot \frac{1}{2}}$ $AC=\sqrt{\frac{40000}{9}+1600-\frac{8000}{3}}$ $AC=\sqrt{\frac{40000}{9}+\frac{14400}{9}-\frac{24000}{9}}$ $AC=\sqrt{\frac{30400}{9}}$ $AC=\frac{\sqrt{30400}}{3}$ $AC=\frac{\sqrt{30400}}{3}\approx 57.94\text{ см}$

Ответ

• Длина биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$ параллелограмма: $AE\approx 37.42\text{ см}$
• Меньшая диагональ параллелограмма: $AC\approx 57.94\text{ см}$

Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства биссектрисы угла в параллелограмме.

Пусть точка пересечения биссектрисы с продолжением стороны параллелограмма обозначается как точка E. Так как биссектриса делит угол на два равных угла, то у нас получается, что угол AED равен 30 градусов $половинаот60градусов$.

Далее, мы можем разделить треугольник AED на два равнобедренных треугольника ADE и AED. Так как AE = AD $равныстороныпараллелограмма$, то мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины биссектрисы:

cos 30° = DE / 25 DE = 25 * cos 30° DE ≈ 21,65 см

Теперь, чтобы найти меньшую диагональ параллелограмма, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ADE $прямоугольныйтреугольник$:

AD^2 = AE^2 + DE^2 AD^2 = 25^2 + 21,65^2 AD ≈ 33,61 см

Таким образом, биссектриса острого угла параллелограмма равна приблизительно 21,65 см, а меньшая диагональ параллелограмма равна приблизительно 33,61 см.