В партии из 18 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект . Какова вероятность того, что из взятых наугад...

Вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 3 изделия являются дефектными равна 0,385.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой комбинаторики.

Сначала найдем общее количество способов выбрать 5 изделий из 18:

C(18, 5) = 18! / (5! * (18-5)!) = 856

Теперь найдем количество способов выбрать 3 дефектных из 6 и 2 недефектных из 12:

C(6, 3) C(12, 2) = (6! / (3! (6-3)!) ) (12! / (2! (12-2)!) ) = 20 * 66 = 1320

Таким образом, вероятность выбрать 3 дефектных изделия из 5 при условии, что 6 из 18 изделий имеют дефект, равна:

1320 / 856 = 0.1542 или около 15.42%

Для решения этой задачи можно использовать гипергеометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность определенного числа успехов в выборке без возвращения из конечной генеральной совокупности.

В данной ситуации:

• Общее число изделий ( N = 18 ).
• Число дефектных изделий ( K = 6 ).
• Размер выборки ( n = 5 ).
• Число дефектных изделий в выборке ( k = 3 ).

Формула для гипергеометрического распределения выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} ]

Где (\binom{a}{b}) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ \binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!} ]

В нашем случае, подставим значения в формулу:

1. Вычислим (\binom{6}{3}):

[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 ]

1. Вычислим (\binom{12}{2}) (так как ((N-K) = 12) и ((n-k) = 2)):

[ \binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 ]

1. Вычислим (\binom{18}{5}):

[ \binom{18}{5} = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8568 ]

Теперь подставим эти значения в формулу для вероятности:

[ P(X = 3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{12}{2}}{\binom{18}{5}} = \frac{20 \cdot 66}{8568} = \frac{1320}{8568} ]

Сократим дробь:

[ \frac{1320}{8568} = \frac{55}{357} ]

Таким образом, вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 3 изделия окажутся дефектными, составляет (\frac{55}{357}) или примерно 0.154 (около 15.4%).