В треугольнике ABC AC = BC, высота CH равна 7,2 и cosA=4/5 . Найдите AC.

Для решения задачи нам нужно использовать теорему косинусов. Сначала найдем длину гипотенузы треугольника ABC: AC = 2 CH = 2 7,2 = 14,4 Теперь можем найти длину стороны AC с помощью теоремы косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cosA 14,4^2 = AB^2 + 14,4^2 - 2 AB 14,4 4/5 207,36 = AB^2 + 207,36 - 28,8 * 4 207,36 = AB^2 + 207,36 - 115,2 AB^2 = 115,2 AB = √115,2 AB ≈ 10,74 Таким образом, длина стороны AC равна 10,74.

Давайте решим задачу, используя данные, которые у нас есть.

1. Основные данные:

   • ( AC = BC ) (так как треугольник ABC равнобедренный).
   • Высота ( CH ) равна 7,2.
   • ( \cos A = \frac{4}{5} ).

2. Понимание углов и высоты:

   • В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины угла при основании, является одновременно медианой и биссектрисой.
   • Следовательно, ( CH ) делит ( AB ) на две равные части: ( AH = HB ).

3. Использование косинуса:

   • Косинус угла ( A ) можно выразить через стороны треугольника. Рассмотрим треугольник ( AHC ): [ \cos A = \frac{AH}{AC} ]
   • Так как ( \cos A = \frac{4}{5} ), можем записать: [ \frac{AH}{AC} = \frac{4}{5} ]
   • Следовательно, [ AH = \frac{4}{5} \cdot AC ]

4. Использование свойства высоты:

   • В треугольнике ( AHC ) можно также рассмотреть высоту ( CH ): [ CH^2 + AH^2 = AC^2 ] (по теореме Пифагора).

5. Подставляем известные значения:

   • ( CH = 7,2 ): [ 7,2^2 + AH^2 = AC^2 ]
   • Подставим ( AH = \frac{4}{5} \cdot AC ) в это уравнение: [ 7,2^2 + \left( \frac{4}{5} \cdot AC \right)^2 = AC^2 ]

6. Решаем уравнение:

   • Выразим ( 7,2^2 ): [ 7,2^2 = 51,84 ]
   • Выразим ( \left( \frac{4}{5} \cdot AC \right)^2 ): [ \left( \frac{4}{5} \cdot AC \right)^2 = \frac{16}{25} \cdot AC^2 ]
   • Подставляем в уравнение: [ 51,84 + \frac{16}{25} \cdot AC^2 = AC^2 ]
   • Преобразуем уравнение: [ 51,84 = AC^2 - \frac{16}{25} \cdot AC^2 ] [ 51,84 = AC^2 \left( 1 - \frac{16}{25} \right) ] [ 51,84 = AC^2 \left( \frac{25 - 16}{25} \right) ] [ 51,84 = AC^2 \cdot \frac{9}{25} ]
   • Умножим обе части уравнения на ( \frac{25}{9} ): [ AC^2 = 51,84 \cdot \frac{25}{9} ] [ AC^2 = 144 ]
   • Найдем ( AC ) (извлечение квадратного корня): [ AC = \sqrt{144} = 12 ]

Таким образом, ( AC ) равно 12.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Из условия известно, что cos(A) = 4/5. Так как в прямоугольном треугольнике катет при угле A равен AC, то можно записать:

cos(A) = AC / AC = 4/5

Отсюда получаем, что AC = 4/5 * AC.

Также из условия известно, что AC = BC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то угол C равен 90 градусов.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC:

AC^2 = CH^2 + AH^2 AC^2 = 7.2^2 + (4/5 AC)^2 AC^2 = 51.84 + (16/25)AC^2 9/25 AC^2 = 51.84 AC^2 = 51.84 25 / 9 AC = √(51.84 * 25 / 9) AC ≈ 8.8

Итак, AC ≈ 8.8.