В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов;tgB=3/4, найти sin A

В треугольнике $\mathrm{△}ABC$, где угол $C$ равен $90$ градусов, у нас есть прямоугольный треугольник. Даны: $\tan B=\frac{3}{4}$. Нам нужно найти $\sin A$.

1. Используем тангенс для определения сторон:

   Тангенс угла $B$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

   $\tan B=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}=\frac{3}{4}$

   Это значит, что если длина катета $\text{BC}=3k$, то длина катета $\text{AC}=4k$, где $k$ — это некоторое положительное число.

2. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы:

   По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $\text{AB}$ равен сумме квадратов катетов:

   ${\text{AB}}^2={\text{BC}}^2+{\text{AC}}^2=(3k{)}^2+(4k{)}^2=9k^2+16k^2=25k^2$

   Следовательно, длина гипотенузы:

   $\text{AB}=\sqrt{25k^2}=5k$

3. Находим $\sin A$:

   Синус угла $A$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   $\sin A=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$

Таким образом, $\sin A=\frac{3}{5}$.

Для нахождения sin A воспользуемся теоремой Пифагора и определением тригонометрических функций.

Из условия известно, что в прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2.

Также известно, что tgB = BC/AC = 3/4. Тогда BC = 3k, AC = 4k, где k - коэффициент пропорциональности.

Подставим значения в теорему Пифагора: $4k$^2 + $3k$^2 = AB^2, 16k^2 + 9k^2 = AB^2, 25k^2 = AB^2, AB = 5k.

Теперь найдем sin A. Используя определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе, получим: sin A = AC / AB = 4k / 5k = 4/5.

Таким образом, sin A в данном треугольнике равен 4/5.