В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов;tgB=3/4, найти sin A

В треугольнике ( \triangle ABC ), где угол ( C ) равен ( 90 ) градусов, у нас есть прямоугольный треугольник. Даны: (\tan B = \frac{3}{4}). Нам нужно найти (\sin A).

1. Используем тангенс для определения сторон:

   Тангенс угла ( B ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

   [ \tan B = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{3}{4} ]

   Это значит, что если длина катета ( \text{BC} = 3k ), то длина катета ( \text{AC} = 4k ), где ( k ) — это некоторое положительное число.

2. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы:

   По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ( \text{AB} ) равен сумме квадратов катетов:

   [ \text{AB}^2 = \text{BC}^2 + \text{AC}^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 ]

   Следовательно, длина гипотенузы:

   [ \text{AB} = \sqrt{25k^2} = 5k ]

3. Находим (\sin A):

   Синус угла ( A ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   [ \sin A = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} ]

Таким образом, (\sin A = \frac{3}{5}).

Для нахождения sin A воспользуемся теоремой Пифагора и определением тригонометрических функций.

Из условия известно, что в прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2.

Также известно, что tgB = BC/AC = 3/4. Тогда BC = 3k, AC = 4k, где k - коэффициент пропорциональности.

Подставим значения в теорему Пифагора: (4k)^2 + (3k)^2 = AB^2, 16k^2 + 9k^2 = AB^2, 25k^2 = AB^2, AB = 5k.

Теперь найдем sin A. Используя определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе, получим: sin A = AC / AB = 4k / 5k = 4/5.

Таким образом, sin A в данном треугольнике равен 4/5.