Велосипедист и мотоциклист одновременно отправились навстречу друг другу из городов А и В.после встречи...

Пусть скорость мотоциклиста равна V, а скорость велосипедиста равна v.

По условию задачи, мотоциклист проехал расстояние между городами А и В за 1 час, а велосипедист - за 9 часов. Таким образом, можно записать уравнение:

V 1 = v 9

Отсюда можно выразить скорость велосипедиста через скорость мотоциклиста:

v = V/9

Теперь, чтобы найти во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, нужно поделить скорость мотоциклиста на скорость велосипедиста:

V/v = V/(V/9) = 9

Итак, скорость мотоциклиста в данной задаче в 9 раз больше скорости велосипедиста.

Давайте обозначим скорость велосипедиста как ( v_1 ) км/ч, а скорость мотоциклиста как ( v_2 ) км/ч. Пусть расстояние между городами А и В равно ( S ) км.

В момент встречи, велосипедист и мотоциклист вместе преодолели всё расстояние ( S ). Мы знаем, что после встречи мотоциклист доехал до города В за 1 час, а велосипедист доехал до города А за 9 часов.

Теперь давайте обозначим время, которое прошло до встречи, как ( t ) часов.

1. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи: ( v_2 \cdot t ).
2. Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: ( v_1 \cdot t ).

Так как они встретились, то сумма этих расстояний равна ( S ): [ v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = S ] [ t \cdot (v_1 + v_2) = S ]

После встречи:

• Мотоциклист доехал до города В за 1 час, значит расстояние, которое он проехал после встречи, равно ( v_2 \cdot 1 = v_2 ).
• Велосипедист доехал до города А за 9 часов, значит расстояние, которое он проехал после встречи, равно ( v_1 \cdot 9 ).

Поскольку эти расстояния исходя из их движения после встречи до конца пути также составляют части ( S ): [ v_2 \cdot t = v_1 \cdot 9 ]

Теперь выразим ( t ) из этого уравнения: [ t = \frac{v_1 \cdot 9}{v_2} ]

Подставим ( t ) в уравнение ( t \cdot (v_1 + v_2) = S ): [ \frac{v_1 \cdot 9}{v_2} \cdot (v_1 + v_2) = S ]

Упростим это уравнение: [ 9v_1 \cdot \left( \frac{v_1 + v_2}{v_2} \right) = S ] [ 9v_1 \cdot \frac{v_1}{v_2} + 9v_1 = S ] [ \frac{9v_1^2}{v_2} + 9v_1 = S ]

Теперь, для определения отношения скоростей, разделим это уравнение на ( 9v_1 ): [ \frac{v_1^2}{v_2 \cdot v_1} + 1 = \frac{S}{9v_1} ] [ \frac{v_1}{v_2} + 1 = \frac{S}{9v_1} ] [ \frac{v_1}{v_2} + 1 = \frac{v_1 + v_2}{9v_1} ]

Упростим это уравнение: [ \frac{v_1}{v_2} + 1 = \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1} \right) ] [ \frac{v_1}{v_2} + 1 = \frac{1}{9} \left( 1 + \frac{v_2}{v_1} \right) ]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 9: [ 9 \left( \frac{v_1}{v_2} + 1 \right) = 1 + \frac{v_2}{v_1} ] [ 9 \frac{v_1}{v_2} + 9 = 1 + \frac{v_2}{v_1} ]

Теперь умножим обе стороны на ( v_1 \cdot v_2 ): [ 9v_1^2 + 9v_1v_2 = v_1v_2 + v_2^2 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 9v_1^2 + 9v_1v_2 - v_1v_2 - v_2^2 = 0 ] [ 9v_1^2 + 8v_1v_2 - v_2^2 = 0 ]

Для того чтобы найти отношение ( \frac{v_2}{v_1} ), разделим все члены уравнения на ( v_1^2 ): [ 9 + 8 \frac{v_2}{v_1} - \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = 0 ]

Обозначим ( \frac{v_2}{v_1} = k ): [ 9 + 8k - k^2 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( k ): [ k^2 - 8k - 9 = 0 ]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 ]

Корни уравнения: [ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 10}{2} ]

Корни: [ k_1 = \frac{18}{2} = 9 ] [ k_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Положительное отношение: [ k = 9 ]

Таким образом, скорость мотоциклиста в 9 раз больше скорости велосипедиста.