Вкладчик открыл счет в банке,внеся 2000 рублей на вклад ,годовой доход по которому равен 12%.Какая сумма...

Для решения данной задачи используем формулу для расчета суммы вклада с учетом процентов:

[ A = P \times (1 + r)^t ]

Где:

• A - сумма вклада после t лет
• P - первоначальная сумма вклада (2000 рублей)
• r - годовая процентная ставка (12% или 0.12)
• t - количество лет

1. Через 1 год: [ A = 2000 \times (1 + 0.12)^1 = 2000 \times 1.12 = 2240 \text{ рублей} ]

2. Через 2 года: [ A = 2000 \times (1 + 0.12)^2 = 2000 \times 1.2544 = 2508.8 \text{ рублей} ]

3. Через 5 лет: [ A = 2000 \times (1 + 0.12)^5 = 2000 \times 1.762341 = 3524.68 \text{ рублей} ]

4. Чтобы найти, через сколько лет сумма на счете превзойдет удвоенный вклад (4000 рублей), подставим значения и будем увеличивать количество лет, пока не достигнем условия: [ 2000 \times (1 + 0.12)^t > 4000 ] [ (1.12)^t > 2 ] [ t > log_{1.12} 2 \approx 5.98 ]

Следовательно, сумма на счете превзойдет удвоенный вклад через 6 лет.

Чтобы вычислить, какая сумма будет находиться на счете через различные промежутки времени, будем использовать формулу сложных процентов. Формула сложных процентов выглядит следующим образом:

[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} ]

где:

• ( A ) — будущая сумма денег на счете,
• ( P ) — начальная сумма вклада (2000 рублей в нашем случае),
• ( r ) — годовая процентная ставка (в десятичной форме, т.е. 12% = 0.12),
• ( n ) — количество начислений процентов в год (в нашем случае это 1, так как проценты начисляются ежегодно),
• ( t ) — количество лет, в течение которых деньги будут находиться на счете.

Начнем с вычисления суммы на счете через 1 год:

Через 1 год:

[ A = 2000 \left(1 + \frac{0.12}{1}\right)^{1 \cdot 1} ] [ A = 2000 \left(1 + 0.12\right) ] [ A = 2000 \times 1.12 ] [ A = 2240 ]

Итак, через 1 год на счете будет 2240 рублей.

Через 2 года:

[ A = 2000 \left(1 + \frac{0.12}{1}\right)^{1 \cdot 2} ] [ A = 2000 \left(1 + 0.12\right)^2 ] [ A = 2000 \times 1.12^2 ] [ A = 2000 \times 1.2544 ] [ A = 2508.80 ]

Через 2 года на счете будет 2508.80 рублей.

Через 5 лет:

[ A = 2000 \left(1 + \frac{0.12}{1}\right)^{1 \cdot 5} ] [ A = 2000 \left(1 + 0.12\right)^5 ] [ A = 2000 \times 1.12^5 ] [ A = 2000 \times 1.7623 ] [ A = 3524.60 ]

Через 5 лет на счете будет 3524.60 рублей.

Через сколько лет сумма удвоится:

Чтобы сумма удвоилась, она должна стать не менее чем 4000 рублей (так как ( 2000 \times 2 = 4000 )). Нам нужно найти ( t ), при котором ( A \geq 4000 ):

[ 4000 = 2000 \left(1 + 0.12\right)^t ] [ 2 = 1.12^t ]

Теперь решим это уравнение для ( t ) с помощью логарифмов:

[ \log(2) = \log(1.12^t) ] [ \log(2) = t \log(1.12) ] [ t = \frac{\log(2)}{\log(1.12)} ]

Подставим значения логарифмов ((\log(2) \approx 0.3010) и (\log(1.12) \approx 0.0492)):

[ t = \frac{0.3010}{0.0492} ] [ t \approx 6.12 ]

Таким образом, сумма на счете превзойдет удвоенный вклад примерно через 6.12 лет. Это означает, что в конце шестого года сумма еще не достигнет удвоенной величины, но в течение седьмого года она достигнет или превзойдет 4000 рублей.