Вкладчик положил в банк 10000р под некоторый процент годовых. В конце первого года банк увеличил процент...

Давайте обозначим процент, под которым были положены деньги, за ( x ). Тогда после первого года сумма на счете составит ( 10000 \times (1 + \frac{x}{100}) ), а после второго года - ( 10000 \times (1 + \frac{x + 5}{100}) ).

Из условия задачи мы знаем, что после двух лет вкладчик получил 11550р:

[ 10000 \times (1 + \frac{x}{100}) \times (1 + \frac{x + 5}{100}) = 11550 ]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

[ 10000 \times (1 + \frac{x}{100} + \frac{x + 5}{100} + \frac{x(x + 5)}{10000}) = 11550 ]

[ 10000 + 100x + 100(x + 5) + x(x + 5) = 11550 ]

[ 10000 + 100x + 100x + 500 + x^2 + 5x = 11550 ]

[ 2x^2 + 205x - 550 = 0 ]

Решив квадратное уравнение, мы найдем два возможных значения ( x ). Проверим оба значения, чтобы определить, под каким процентом были положены деньги.

Рассмотрим данную задачу поэтапно.

1. Обозначим начальный процент годовых через ( r ) (в десятичной форме). Например, если процент равен 10%, то ( r = 0.10 ).

2. В начале первого года вкладчик положил 10000 рублей под процент ( r ).

3. К концу первого года сумма на счету будет: [ 10000 \times (1 + r) ]

4. Банк увеличил процент на 5% (или 0.05 в десятичной форме). Таким образом, новый процент на второй год будет ( r + 0.05 ).

5. К концу второго года сумма на счету, с учетом нового процента, будет: [ 10000 \times (1 + r) \times (1 + r + 0.05) ]

6. Вкладчик получил 11550 рублей через два года. Поэтому: [ 10000 \times (1 + r) \times (1 + r + 0.05) = 11550 ]

7. Упростим это уравнение: [ (1 + r) \times (1 + r + 0.05) = \frac{11550}{10000} ] [ (1 + r) \times (1 + r + 0.05) = 1.155 ]

8. Раскроем скобки и упростим выражение: [ (1 + r)(1 + r + 0.05) = 1.155 ] [ (1 + r)(1 + r + 0.05) = (1 + r)(1 + r + 0.05) = (1 + r + r + r^2 + 0.05 + 0.05r) ] [ 1 + r + r + r^2 + 0.05 + 0.05r = 1 + 2r + r^2 + 0.05 + 0.05r ] [ 1 + 2r + r^2 + 0.05 + 0.05r = 1.155 ] [ 1 + 2r + r^2 + 0.05 + 0.05r = 1.155 ] [ 1 + 2r + 0.05r + r^2 + 0.05 = 1.155 ] [ r^2 + 2.05r + 1.05 = 1.155 ]

9. Уравнение принимает вид: [ r^2 + 2.05r + 1.05 = 1.155 ]

10. Вычтем 1.155 с обеих сторон: [ r^2 + 2.05r + 1.05 - 1.155 = 0 ] [ r^2 + 2.05r - 0.105 = 0 ]

11. Решим квадратное уравнение при помощи дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = 2.05 ), ( c = -0.105 ): [ D = (2.05)^2 - 4 \times 1 \times (-0.105) ] [ D = 4.2025 + 0.42 ] [ D = 4.6225 ]

12. Найдем корни уравнения: [ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ r = \frac{-2.05 \pm \sqrt{4.6225}}{2} ] [ r = \frac{-2.05 \pm 2.15}{2} ]

13. Получим два корня: [ r_1 = \frac{-2.05 + 2.15}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 ] [ r_2 = \frac{-2.05 - 2.15}{2} = \frac{-4.2}{2} = -2.1 ]

14. Поскольку процент не может быть отрицательным, мы берем только положительный корень: [ r = 0.05 ]

Таким образом, начальный процент годовых составил 5%.