Вычислите: 5 arccos 1/2 + 3 arcsin (минус корень из 2/2)

Чтобы вычислить выражение (5 \arccos \frac{1}{2} + 3 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)), необходимо сначала понять, чему равны (\arccos \frac{1}{2}) и (\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)).

1. Найдем (\arccos \frac{1}{2}):

   Функция (\arccos x) определяет угол (\theta) в диапазоне от (0) до (\pi) (от (0) до (180^\circ)), для которого (\cos \theta = x).

   [ \cos \theta = \frac{1}{2} ]

   Известно, что (\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}) (или (\cos 60^\circ = \frac{1}{2})). Следовательно,

   [ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} ]

2. Найдем (\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)):

   Функция (\arcsin x) определяет угол (\theta) в диапазоне от (-\frac{\pi}{2}) до (\frac{\pi}{2}) (от (-90^\circ) до (90^\circ)), для которого (\sin \theta = x).

   [ \sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Известно, что (\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}) (или (\sin (-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2})). Следовательно,

   [ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} ]

3. Подставим найденные значения в выражение:

   [ 5 \arccos \frac{1}{2} + 3 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) ]

4. Вычислим:

   [ 5 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} ] [ 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{4} ]

   Теперь сложим результаты:

   [ \frac{5\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} ]

   Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для (3) и (4) — это (12).

   [ \frac{5\pi}{3} = \frac{20\pi}{12} ] [ -\frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{12} ]

   Сложим:

   [ \frac{20\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} ]

Таким образом, значение выражения равно (\frac{11\pi}{12}).

Для вычисления данного выражения воспользуемся известными значениями арккосинуса и арксинуса. arccos(1/2) = π/3, так как косинус π/3 равен 1/2. arcsin(-√2/2) = -π/4, так как синус -π/4 равен -√2/2.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: 5(π/3) + 3(-π/4) = 5π/3 - 3π/4 = (20π - 9π) / 12 = 11π / 12.

Итак, результат вычисления данного выражения равен 11π / 12.