Вычислите : а)1/2 arcsin корень 3/2-2 arccos (-1/2)

а) 1/2 arcsin(√3/2) - 2 arccos(-1/2) = 30° - 240° = -210°

Для решения данного выражения воспользуемся формулами арксинуса и арккосинуса:

1) arcsin(√3/2) = π/3 2) arccos(-1/2) = 2π/3

Теперь подставим найденные значения:

1/2 arcsin(√3/2) - 2 arccos(-1/2) = 1/2 π/3 - 2 2π/3 = π/6 - 4π/3 = -7π/6

Таким образом, результат выражения равен -7π/6.

Давайте разберём данный пример и вычислим выражение: ( \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2 \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) ).

Для начала вспомним, что такое арксинус и арккосинус.

1. Арксинус ((\arcsin)): это функция, обратная к синусу на отрезке ([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]). То есть, если (\sin y = x), то (\arcsin x = y).

2. Арккосинус ((\arccos)): это функция, обратная к косинусу на отрезке ([0, \pi]). То есть, если (\cos y = x), то (\arccos x = y).

Теперь найдём значения арксинуса и арккосинуса для данных аргументов:

а) (\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)):

• Значение (\frac{\sqrt{3}}{2}) соответствует синусу угла (\frac{\pi}{3}) (или 60 градусов), поскольку (\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}).
• Следовательно, (\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}).

б) (\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)):

• Значение (-\frac{1}{2}) соответствует косинусу угла (\frac{2\pi}{3}) (или 120 градусов), поскольку (\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}).
• Следовательно, (\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}).

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{2\pi}{3} ]

Выполним вычисления:

1. (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}).

2. (2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}).

Теперь вычислим разность:

[ \frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} ]

Для удобства вычтем дроби, приведя их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 3 будет 6:

• (\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}).

Теперь вычтем:

[ \frac{\pi}{6} - \frac{8\pi}{6} = \frac{\pi - 8\pi}{6} = \frac{-7\pi}{6} ]

Таким образом, значение выражения равно (-\frac{7\pi}{6}).