Вычислите: arccos(-1)-arccosкорень из 3/2+arccos(-корень из 2/2)
Вычислите: arccos(-1)-arccosкорень из 3/2+arccos(-корень из 2/2)
Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой для разности арккосинусов: arccos(a) - arccos(b) = arccos(ab + sqrt(1-a^2)sqrt(1-b^2)).
Теперь подставим значения в формулу: π - π/6 + 3π/4 = 5π/12 + 3π/4 = 15π/12 + 9π/12 = 24π/12 = 2π.
Ответ: 2π.
Для того чтобы вычислить выражение (\arccos(-1) - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)), давайте разберём каждый элемент по отдельности.
(\arccos(-1)):
(\arccos) — это функция, обратная к косинусу, которая принимает значения от (-1) до (1) и возвращает угол в диапазоне от (0) до (\pi) радиан (от (0) до (180^\circ)).
(\arccos(-1) = \pi) радиан, потому что (\cos(\pi) = -1).
(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)):
Здесь нужно найти угол, косинус которого равен (\frac{\sqrt{3}}{2}).
(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}), поэтому (\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}).
(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)):
Здесь нужно определить угол, косинус которого равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}).
(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}), следовательно, (\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}).
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
[ \pi - \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} ]
Для удобства сложения приведём все члены к общему знаменателю, который будет равен 12:
[ \pi = \frac{12\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}, \quad \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12} ]
Подставим эти значения:
[ \frac{12\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{12\pi - 2\pi + 9\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} ]
Итак, значение выражения (\arccos(-1) - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)) равно (\frac{19\pi}{12}).
arccos(-1) = π, arccos(√3/2) = π/6, arccos(-√2/2) = 3π/4. π - π/6 + 3π/4 = 13π/12.
