Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями :y=1/x^2 ,y=0 x=1 x=2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x^2} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 2 ), необходимо использовать интеграл для нахождения площади под кривой.

Функция ( y = \frac{1}{x^2} ) задаёт кривую, а линии ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 2 ) образуют вертикальные и горизонтальные границы фигуры. Площадь этой фигуры будет равна определённому интегралу функции ( y = \frac{1}{x^2} ) от ( x = 1 ) до ( x = 2 ).

Запишем интеграл: [ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx ]

Для вычисления этого интеграла воспользуемся стандартной формулой: [ \int x^{-n} \, dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C ] для ( n \neq 1 ).

В нашем случае ( n = 2 ), поэтому: [ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C ]

Теперь вычислим определённый интеграл: [ \int{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) ]

Вычисления дают: [ -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{1}{2}).

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения и построить график данной области.

Первым шагом найдем точки пересечения линии y=1/x^2 и y=0. Подставляя y=0 в уравнение y=1/x^2, получим 0=1/x^2, откуда x=0. Таким образом, точка пересечения линии y=1/x^2 и y=0 - это начало координат (0,0).

Далее, найдем точки пересечения линии y=1/x^2 и x=1, x=2. Подставляя x=1 и x=2 в уравнение y=1/x^2, получим y=1/1^2=1 и y=1/2^2=1/4 соответственно. Таким образом, точки пересечения линии y=1/x^2 и x=1, x=2 - это точки (1,1) и (2,1/4).

Теперь построим график данной области и найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x^2, y=0, x=1, x=2.

Площадь данной фигуры равна интегралу от 1 до 2 функции 1/x^2 по оси x. Вычислим данный интеграл: ∫[1,2] 1/x^2 dx = [-1/x] [1,2] = -1/2 + 1 = 1/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x^2, y=0, x=1, x=2, равна 1/2.