Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=sinx y=0,5 x=p/6 x=5p/6

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения.

Из уравнения y = sin(x) видно, что она пересекает ось x в точках x = 0 и x = π, так как sin(0) = 0 и sin(π) = 0.

Уравнение y = 0.5 задает горизонтальную линию на уровне y = 0.5, а x = π/6 и x = 5π/6 - это вертикальные линии.

Таким образом, фигура ограничена линиями y = sin(x), y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6.

Чтобы найти площадь, нужно вычислить интеграл от sin(x) до 0.5 в пределах от π/6 до 5π/6.

Получаем: ∫[π/6, 5π/6] (0.5 - sin(x)) dx = [0.5x + cos(x)] [π/6, 5π/6] = [(5π - π)/6 + cos(5π/6)] - [(π + π)/6 + cos(π/6)] = (4π/6 - π/6 + √3/2) - (2π/6 + √3/2) = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = sin(x), y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6 равна π/3.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \sin x ), ( y = 0.5 ), ( x = \frac{\pi}{6} ) и ( x = \frac{5\pi}{6} ), мы можем воспользоваться методом интегрирования.

1. Определим границы интегрирования:

   • Линии ( x = \frac{\pi}{6} ) и ( x = \frac{5\pi}{6} ) задают вертикальные границы области.
   • Линии ( y = \sin x ) и ( y = 0.5 ) определяют верхнюю и нижнюю границы области соответственно.

2. Найдем точки пересечения:

   • Решим уравнение ( \sin x = 0.5 ) для нахождения точек пересечения в пределах от (\frac{\pi}{6}) до (\frac{5\pi}{6}).
   • ( \sin x = 0.5 ) имеет решения ( x = \frac{\pi}{6} ) и ( x = \frac{5\pi}{6} ) в пределах от (0) до (\pi).

3. Вычислим площадь:

   • Площадь между кривыми ( y = \sin x ) и ( y = 0.5 ) от ( x = \frac{\pi}{6} ) до ( x = \frac{5\pi}{6} ) вычисляется как интеграл разности этих функций на заданном отрезке: [ A = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - 0.5) \, dx ]

4. Вычисление интеграла:

   • Интеграл от (\sin x) равен (-\cos x).
   • Интеграл от 0.5 равен (0.5x).

   Подставляем в формулу: [ A = \left[-\cos x - 0.5x\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} ]

5. Подставим пределы интегрирования: [ A = \left(-\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 0.5 \times \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 0.5 \times \frac{\pi}{6}\right) ]

6. Упростим выражение:

   • (\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2})
   • (\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2})

   Подставляем значения: [ A = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}\right) ]

7. Рассчитаем результат: [ A = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры ограниченной заданными линиями равна ( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} ).