Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=sinx y=0,5 x=p/6 x=5p/6

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения.

Из уравнения y = sin$x$ видно, что она пересекает ось x в точках x = 0 и x = π, так как sin$0$ = 0 и sin$\pi$ = 0.

Уравнение y = 0.5 задает горизонтальную линию на уровне y = 0.5, а x = π/6 и x = 5π/6 - это вертикальные линии.

Таким образом, фигура ограничена линиями y = sin$x$, y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6.

Чтобы найти площадь, нужно вычислить интеграл от sin$x$ до 0.5 в пределах от π/6 до 5π/6.

Получаем: ∫$\pi /6,5\pi /6$ $0.5-sin(x$) dx = $0.5x+cos(x)$ $\pi /6,5\pi /6$ = $(5\pi -\pi )/6+cos(5\pi /6)$ - $(\pi +\pi )/6+cos(\pi /6)$ = $4\pi /6-\pi /6+\surd 3/2$ - $2\pi /6+\surd 3/2$ = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = sin$x$, y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6 равна π/3.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sin x$, $y=0.5$, $x=\frac{\pi }{6}$ и $x=\frac{5\pi }{6}$, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

1. Определим границы интегрирования:

   • Линии $x=\frac{\pi }{6}$ и $x=\frac{5\pi }{6}$ задают вертикальные границы области.
   • Линии $y=\sin x$ и $y=0.5$ определяют верхнюю и нижнюю границы области соответственно.

2. Найдем точки пересечения:

   • Решим уравнение $\sin x=0.5$ для нахождения точек пересечения в пределах от $\frac{\pi }{6}$ до $\frac{5\pi }{6}$.
   • $\sin x=0.5$ имеет решения $x=\frac{\pi }{6}$ и $x=\frac{5\pi }{6}$ в пределах от $0$ до $\pi$.

3. Вычислим площадь:

   • Площадь между кривыми $y=\sin x$ и $y=0.5$ от $x=\frac{\pi }{6}$ до $x=\frac{5\pi }{6}$ вычисляется как интеграл разности этих функций на заданном отрезке: $A={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(\sin x-0.5)dx$

4. Вычисление интеграла:

   • Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$.
   • Интеграл от 0.5 равен $0.5x$.

   Подставляем в формулу: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} ]

5. Подставим пределы интегрирования: $A=(-\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)-0.5\times \frac{5\pi }{6})-(-\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)-0.5\times \frac{\pi }{6})$

6. Упростим выражение:

   • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = -\frac{\sqrt{3}}{2})
   • $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{\sqrt{3}}{2})

   Подставляем значения: $A=(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\pi }{12})-(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{12})$

7. Рассчитаем результат: $A=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{12}=\sqrt{3}-\frac{4\pi }{12}=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной заданными линиями равна $\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.