Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=sinx y=0,5 x=p/6 x=5p/6

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
площадь интегралы тригонометрические функции синус математика линии вычисление фигура
0

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=sinx y=0,5 x=p/6 x=5p/6

avatar
задан 4 месяца назад

2 Ответа

0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения.

Из уравнения y = sinx видно, что она пересекает ось x в точках x = 0 и x = π, так как sin0 = 0 и sinπ = 0.

Уравнение y = 0.5 задает горизонтальную линию на уровне y = 0.5, а x = π/6 и x = 5π/6 - это вертикальные линии.

Таким образом, фигура ограничена линиями y = sinx, y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6.

Чтобы найти площадь, нужно вычислить интеграл от sinx до 0.5 в пределах от π/6 до 5π/6.

Получаем: ∫π/6,5π/6 0.5sin(x) dx = 0.5x+cos(x) π/6,5π/6 = (5ππ)/6+cos(5π/6) - (π+π)/6+cos(π/6) = 4π/6π/6+3/2 - 2π/6+3/2 = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = sinx, y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6 равна π/3.

avatar
ответил 4 месяца назад
0

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0.5, x=π6 и x=5π6, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

  1. Определим границы интегрирования:

    • Линии x=π6 и x=5π6 задают вертикальные границы области.
    • Линии y=sinx и y=0.5 определяют верхнюю и нижнюю границы области соответственно.
  2. Найдем точки пересечения:

    • Решим уравнение sinx=0.5 для нахождения точек пересечения в пределах от π6 до 5π6.
    • sinx=0.5 имеет решения x=π6 и x=5π6 в пределах от 0 до π.
  3. Вычислим площадь:

    • Площадь между кривыми y=sinx и y=0.5 от x=π6 до x=5π6 вычисляется как интеграл разности этих функций на заданном отрезке: A=π65π6(sinx0.5)dx
  4. Вычисление интеграла:

    • Интеграл от sinx равен cosx.
    • Интеграл от 0.5 равен 0.5x.

    Подставляем в формулу: Missing or unrecognized delimiter for \right_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} ]

  5. Подставим пределы интегрирования: A=(cos(5π6)0.5×5π6)(cos(π6)0.5×π6)

  6. Упростим выражение:

    • Missing or unrecognized delimiter for \right = -\frac{\sqrt{3}}{2})
    • Missing or unrecognized delimiter for \right = \frac{\sqrt{3}}{2})

    Подставляем значения: A=(325π12)(32π12)

  7. Рассчитаем результат: A=32+325π12+π12=34π12=3π3

Таким образом, площадь фигуры ограниченной заданными линиями равна 3π3.

avatar
ответил 4 месяца назад

Ваш ответ

Вопросы по теме