Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 y=0 x=1 x=3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы должны найти интеграл от y=x^2 до y=0 по оси x в пределах от x=1 до x=3.

Сначала найдем точки пересечения линий y=x^2 и y=0. Подставим y=0 в уравнение y=x^2:

0=x^2 x=0

Следовательно, точка пересечения (0,0) - начало координат.

Теперь найдем точки пересечения линий y=x^2 и x=1:

x^2=1 x=1

Точка пересечения (1,1).

Аналогично, найдем точки пересечения линий y=x^2 и x=3:

x^2=3 x=√3

Точка пересечения (√3,3).

Теперь можем записать интеграл для вычисления площади фигуры:

S= ∫[1,3] (x^2-0)dx S= ∫[1,3] x^2dx S= [x^3/3] [1,3] S= (3^3/3) - (1^3/3) S= 9 - 1 S= 8

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=0, x=1 и x=3, равна 8.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 3 ), нам нужно найти определенный интеграл функции, представляющей верхнюю границу за вычетом нижней границы, между заданными пределами по ( x ).

В данном случае:

• Верхняя граница — это ( y = x^2 ).
• Нижняя граница — это ( y = 0 ).

Фигура ограничена вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

Площадь ( A ) между кривой ( y = x^2 ) и осью ( x ) от ( x = 1 ) до ( x = 3 ) вычисляется следующим образом:

[ A = \int{1}^{3} (x^2 - 0) \, dx = \int{1}^{3} x^2 \, dx ]

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Найдем первообразную для ( x^2 ). Первообразной функцией для ( x^n ) является ( \frac{x^{n+1}}{n+1} ). Следовательно, первообразная для ( x^2 ) — это ( \frac{x^3}{3} ).

2. Подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) ]

1. Вычислим значения:

[ = \left( \frac{27}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры составляет ( \frac{26}{3} ) квадратных единиц.

Площадь фигуры равна 4.