Вычислите: sin 19/6 п; cos 11/2п; tg 16/3 п; ctg (-4/3п)

sin(19/6π) = sin(π/6) = 1/2 cos(11/2π) = cos(π/2) = 0 tg(16/3π) = tg(π/3) = √3 ctg(-4/3π) = ctg(-π/3) = -√3

Для вычисления значений тригонометрических функций в угловых мерах, выраженных в виде несократимых дробей, можно воспользоваться формулами синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы углов.

1) sin(19/6π) = sin(3π + π/6) = sin(3π)cos(π/6) + cos(3π)sin(π/6) = 0*(-√3/2) + (-1)(1/2) = -1/2

2) cos(11/2π) = cos(5π + π) = cos(5π)cos(π) - sin(5π)sin(π) = (-1)(-1) - 00 = 1

3) tg(16/3π) = tg(5π + π/3) = (tg(5π) + tg(π/3)) / (1 - tg(5π)tg(π/3)) = (0 + √3) / (1 - 0√3) = √3

4) ctg(-4/3π) = ctg(-π - π/3) = -ctg(π + π/3) = -ctg(π)ctg(π/3) + 1 = -0(-√3) + 1 = 1

Чтобы вычислить тригонометрические функции для данных углов, нужно сначала привести эти углы к стандартному диапазону ([0, 2\pi]) для синуса и косинуса, и ([0, \pi]) для тангенса и котангенса, поскольку тригонометрические функции имеют периодичность.

1. ( \sin\left(\frac{19}{6}\pi\right) ):

   Угол (\frac{19}{6}\pi) можно упростить, вычитая целое число, умноженное на (2\pi), чтобы привести его к стандартному диапазону:

   [ \frac{19}{6}\pi - 3 \cdot 2\pi = \frac{19}{6}\pi - \frac{18}{6}\pi = \frac{1}{6}\pi ]

   Таким образом, (\sin\left(\frac{19}{6}\pi\right) = \sin\left(\frac{1}{6}\pi\right)).

   (\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)) равен (\frac{1}{2}).

2. ( \cos\left(\frac{11}{2}\pi\right) ):

   Угол (\frac{11}{2}\pi) также можно упростить:

   [ \frac{11}{2}\pi - 5 \cdot 2\pi = \frac{11}{2}\pi - \frac{10}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi ]

   Таким образом, (\cos\left(\frac{11}{2}\pi\right) = \cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)).

   (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)) равен 0.

3. ( \tan\left(\frac{16}{3}\pi\right) ):

   Угол (\frac{16}{3}\pi) можно привести к стандартному диапазону:

   [ \frac{16}{3}\pi - 5 \cdot \pi = \frac{16}{3}\pi - \frac{15}{3}\pi = \frac{1}{3}\pi ]

   Таким образом, (\tan\left(\frac{16}{3}\pi\right) = \tan\left(\frac{1}{3}\pi\right)).

   (\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)) равен (\sqrt{3}).

4. ( \cot\left(-\frac{4}{3}\pi\right) ):

   Угол (-\frac{4}{3}\pi) можно упростить, добавляя (2\pi):

   [ -\frac{4}{3}\pi + 2\pi = -\frac{4}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{2}{3}\pi ]

   Таким образом, (\cot\left(-\frac{4}{3}\pi\right) = \cot\left(\frac{2}{3}\pi\right)).

   (\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right)) равен (-\frac{1}{\sqrt{3}}).

Итак, результаты вычислений:

• (\sin\left(\frac{19}{6}\pi\right) = \frac{1}{2})
• (\cos\left(\frac{11}{2}\pi\right) = 0)
• (\tan\left(\frac{16}{3}\pi\right) = \sqrt{3})
• (\cot\left(-\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}})